セクション（ファイバー束）

トポロジーの数学分野において、ファイバー束の断面（または横断面）^{[ 1 ]は、}${\displaystyle E}$は射影関数の連続右逆関数である。${\displaystyle \pi }$つまり、${\displaystyle E}$基底空間 上のファイバー束である。${\displaystyle B}$:

${\displaystyle \pi \colon E\to B}$

すると、そのファイバー束の一部は連続マップとなり、

${\displaystyle \sigma \colon B\to E}$

そのため

${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$すべての人々のために${\displaystyle x\in B}$。

セクションとは、グラフであることの意味を抽象的に特徴づけたものです。関数のグラフ${\displaystyle g\colon B\to Y}$は、デカルト積の値をとる関数と同一視できる。${\displaystyle E=B\times Y}$、 の${\displaystyle B}$そして${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle \sigma \colon B\to E,\quad \sigma (x)=(x,g(x))\in E.}$

させて${\displaystyle \pi \colon E\to B}$最初の因子への射影とする。${\displaystyle \pi (x,y)=x}$グラフは任意の関数である${\displaystyle \sigma }$そのために${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$。

繊維束の言語により、このセクションの概念を次の場合に一般化することができます。${\displaystyle E}$必ずしもデカルト積とは限りません。${\displaystyle \pi \colon E\to B}$は繊維束であり、セクションはポイントの選択である${\displaystyle \sigma (x)}$それぞれの繊維において。${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$単に、ある地点での断面を意味する${\displaystyle x}$ 横たわらなければならない${\displaystyle x}$（画像参照）

例えば、${\displaystyle E}$ベクトルバンドルは、${\displaystyle E}$ベクトル空間の要素である${\displaystyle E_{x}}$各ポイントの上に位置している${\displaystyle x\in B}$特に、滑らかな多様体上のベクトル場${\displaystyle M}$各点における接線ベクトルの選択${\displaystyle M}$これは接束の一部です${\displaystyle M}$同様に、1形式は${\displaystyle M}$は余接束の断面です。

主束やベクトル束などの切断は、微分幾何学においても非常に重要なツールである。この設定では、基底空間は${\displaystyle B}$滑らかな多様体である${\displaystyle M}$、 そして${\displaystyle E}$は滑らかな繊維束であると想定される${\displaystyle M}$（つまり、${\displaystyle E}$は滑らかな多様体であり、${\displaystyle \pi \colon E\to M}$は滑らかな写像である）。この場合、の滑らかな断面の空間を考える。${\displaystyle E}$オープンセット上${\displaystyle U}$、と表記される${\displaystyle C^{\infty }(U,E)}$。また、幾何学的解析では、中間的な規則性を持つ断面の空間 (例:${\displaystyle C^{k}}$セクション、またはヘルダー条件やソボレフ空間の意味での正則性を持つセクション）。

ファイバー束は一般的にそのようなグローバルセクションを持たない（例えば、ファイバー束を考えてみれば$\displaystyle S^{1}}$ファイバー付き${\displaystyle F=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$ファイバー束の局所的な切断は連続写像である。${\displaystyle s\colon U\to E}$どこ${\displaystyle U}$は開集合である${\displaystyle B}$そして${\displaystyle \pi (s(x))=x}$すべての人々のために${\displaystyle x}$で${\displaystyle U}$。 もし${\displaystyle (U,\varphi )}$は、​${\displaystyle E}$、 どこ${\displaystyle \varphi }$は同相写像である$\displaystyle \pi ^{-1}(U)$に${\displaystyle U\times F}$（どこ${\displaystyle F}$はファイバーであるため、その場合、常に局所セクションが存在します。${\displaystyle U}$連続写像と全単射対応${\displaystyle U}$に${\displaystyle F}$（局所）セクションは層を形成する。${\displaystyle B}$束と呼ばれる${\displaystyle E}$。

繊維束の連続した部分の空間${\displaystyle E}$以上${\displaystyle U}$時には表記される${\displaystyle C(U,E)}$グローバルセクションの空間は${\displaystyle E}$しばしば表記される$\displaystyle \Gamma (E)$または${\displaystyle \Gamma (B,E)}$。

• セクション（圏論）
• 繊維化
• ゲージ理論（数学）
• 主要バンドル
• プルバックバンドル
• ベクターバンドル

• ノーマン・スティーンロッド著『繊維束のトポロジー』プリンストン大学出版局（1951年）。ISBN 0-691-00548-6。
• デイビッド・ブリーカー著『ゲージ理論と変分原理』、アディソン・ウェスリー出版、マサチューセッツ州レディング（1981年）。ISBN 0-201-10096-7。
• Husemöller、Dale (1994)、Fibre Bundles、Springer Verlag、ISBN 0-387-94087-1

• ファイバーバンドル、プラネットマス
• ワイススタイン、エリック W. 「ファイバーバンドル」 . MathWorld .