ケーラー多様体

数学、特に微分幾何学において、ケーラー多様体とは、複素構造、リーマン構造、シンプレクティック構造という、互いに両立する３つの構造を持つ多様体のことである。この概念は、1930年にヤン・アルノルダス・ショウテンとダヴィッド・ファン・ダンツィヒによって初めて研究され、その後1933年にエーリッヒ・ケーラーによって導入された。用語はアンドレ・ヴェイユによって確立された。ケーラー幾何学とは、ケーラー多様体、その幾何学と位相の研究、およびケーラー多様体上で実行可能な構造と構成の研究を指す。例えば、エルミート・ヤン・ミルズ接続のような特別な接続の存在や、ケーラー・アインシュタイン計量のような特別な計量の存在などである。

滑らかな複素射影多様体はすべてケーラー多様体である。ホッジ理論は代数幾何学の中心的な分野であり、ケーラー計量を用いて証明される。

ケーラー多様体は複数の互換性のある構造を備えているため、異なる観点から記述することができる。これらの観点の等価性は、本質的にユニタリ群が${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$は、2 つのグループの共通部分です。${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} ),\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$そして${\displaystyle \mathrm {O} (2n)}$。

1. 複雑な空間${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$標準エルミート計量を持つものはケーラー多様体である。
2. コンパクトな複合トーラス${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$と${\displaystyle \Lambda }$完全な格子は、ユークリッド計量から平坦な計量を継承します。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$したがって、これはコンパクトなケーラー多様体である。
3. 向き付けられた2次元多様体上のすべてのリーマン計量はケーラー計量である。（実際、そのホロノミー群は回転群に含まれる。）${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$これはユニタリ群に等しい。${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$特に、向き付けられたリーマン2次元多様体は、標準的な意味でのリーマン面です。これは等温座標の存在として知られています。逆に、任意のエルミート計量のケーラー形式は次元的な理由から閉じているため、すべてのリーマン面はケーラー面です。
4. 複素射影空間におけるケーラー計量の標準的な選択肢がある${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$フビニ・スタディ計量。一つの記述はユニタリ群を含む。${\displaystyle \mathrm {U} (n+1)}$の線形自己同型群${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$標準エルミート形式を保持する。フビニ・スタディ計量は、上の唯一のリーマン計量である。${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$（正の倍数を除いて）作用の下で不変である${\displaystyle \mathrm {U} (n+1)}$の上${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$自然な一般化の一つは${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$これは、グラスマン多様体などのコンパクト型のエルミート対称空間によって提供される。コンパクト型のエルミート対称空間上の自然なケーラー計量は、非負の断面曲率を持つ。
5. ケーラー多様体の複素部分多様体上の誘導計量はケーラー計量である。特に、任意の開部分集合は${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$、任意のシュタイン多様体（${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$）または任意の滑らかな射影代数多様体（${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$) はケーラーです。これは多くの例を提供します。
6. オープンユニットボール${\displaystyle \mathbb {B} ^{n}}$で${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$完全なケーラー計量であるベルグマン計量を持ち、正則断面曲率は −1 に等しい。球の自然な一般化は、ジーゲル上半空間のような非コンパクト型のエルミート対称空間によって提供される。すべてのエルミート対称空間${\displaystyle X}$非コンパクト型のは、ある領域内の有界領域と双正則である。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$、そしてバーグマン計量は${\displaystyle X}$これは、非正の断面曲率を持つ完全なケーラー計量である。
7. すべてのK3曲面はケーラー曲面である（Siuによる）。^{[ 4 ]}

滑らかな実数値関数${\displaystyle \rho }$複素多様体上の実閉形式が厳密に多重劣調和であるとは、

${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho }$

は正、つまりケーラー形式です。${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$ドルボー演算子です。${\displaystyle \rho }$これはケーラーポテンシャルと呼ばれます。${\displaystyle \omega }$。

逆に、ポアンカレの補題の複素バージョン、局所的${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-補題、すべてのケーラー計量は局所的にこのように記述できます。つまり、${\displaystyle (X,\omega )}$はケーラー多様体である。${\displaystyle p}$で${\displaystyle X}$近隣地域があります${\displaystyle U}$の${\displaystyle p}$そして滑らかな実数値関数${\displaystyle \rho }$の上${\displaystyle U}$そのため${\displaystyle {\omega \vert }_{U}=(i/2)\partial {\bar {\partial }}\rho }$[ ^{5 ]}ここ^で${\displaystyle \rho }$これは、${\displaystyle \omega }$一般的なリーマン計量を単一の関数で記述する同等の方法は存在しない。

ケーラー多様体上${\displaystyle (X,\omega )}$寸法${\displaystyle n}$ボリューム形式${\displaystyle {\frac {\omega ^{n}}{n!}}}$シンプレクティック形式に関連する${\displaystyle \omega }$これは計量のリーマン体積形式でもある。${\displaystyle g=\mathrm {Re} (\omega )}$[ ^{6 ]​}

コンパクトケーラー多様体の特異な特徴は、閉じた複素部分空間の体積が${\displaystyle Y}$基本クラスによって決定される${\displaystyle [Y]}$閲覧${\displaystyle H_{*}(X,\mathbb {Z} )}$ある意味では、これは複素部分空間の幾何学がその位相に関して制限されることを意味する。（これは実部分多様体では完全に成り立たない。）具体的には、ヴィルティンガーの公式は次のように述べている。

${\displaystyle \mathrm {vol} (Y)={\frac {1}{r!}}\int _{Y}\omega ^{r}}$

どこ${\displaystyle Y}$はr次元の閉じた複素部分空間であり、${\displaystyle \omega }$はケーラー形式である。^{[ 7 ]}${\displaystyle \omega }$が閉じている場合、この積分は基本クラスのみに依存します${\displaystyle Y}$で${\displaystyle H_{2r}(X,\mathbb {R} )}$そして次のように表現できます。

${\displaystyle \mathrm {vol} (Y)={\frac {1}{r!}}[\omega ]^{r}\cdot [Y],}$。

これらのボリュームは常に正であり、ケーラークラスの強い正性を表しています。${\displaystyle \omega }$で${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {R} )}$複素部分空間に関して。特に、${\displaystyle \omega ^{n}\neq 0}$コンパクトなケーラー多様体の場合${\displaystyle X}$複素数${\displaystyle n\geq 1}$。

関連する事実として、すべての閉じた複素部分空間は${\displaystyle Y}$コンパクトなケーラー多様体の${\displaystyle X}$は（特異集合の外側では）最小部分多様体である。さらに、較正幾何学の理論によれば、${\displaystyle Y}$同じ相同性クラスに属するすべての（実数）サイクルの中で、体積を最小化する。

ケーラー多様体上の滑らかで複雑な構造とリーマン構造の間の強い相互作用の結果として、ケーラー多様体の複素微分形式上の様々な演算子の間には、任意の複素多様体では成り立たない自然な恒等式が存在する。これらの恒等式は外微分を関連付ける。${\displaystyle d}$ドルボーのオペレーター${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$そしてそれらの随伴行列であるラプラシアン${\displaystyle \Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}}$、そしてレフシェッツ演算子${\displaystyle L:=\omega \wedge -}$そしてその随伴演算子である縮約演算子${\displaystyle \Lambda =L^{*}}$[ ^{8 ]これらの恒等式は}、ケーラー多様体に関する解析ツールキットの基礎を形成し、ホッジ理論と組み合わせることで、ケーラー多様体とそのコホモロジーの多くの重要な性質を証明する上で基本となります。特に、ケーラー恒等式は、小平と中野の消滅定理、レフシェッツ超平面定理、ハードレフシェッツ定理、ホッジ・リーマン双線形関係、およびホッジ指数定理を証明する上で重要です。

次元のリーマン多様体上${\displaystyle n}$滑らかなラプラシアン${\displaystyle r}$-forms は次のように定義されます ${\displaystyle \Delta _{d}=dd^{*}+d^{*}d}$ どこ${\displaystyle d}$は外部微分であり、${\displaystyle d^{*}=-(-1)^{n(r+1)}\star d\,\star }$、 どこ${\displaystyle \star }$はホッジスター演算子です。（同等に、${\displaystyle d^{*}}$は​​${\displaystyle d}$L ²内積に関して​${\displaystyle r}$（コンパクトなサポートを持つ形式。）エルミート多様体の場合${\displaystyle X}$、${\displaystyle d}$そして${\displaystyle d^{*}}$分解すると

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }},\ \ \ \ d^{*}=\partial ^{*}+{\bar {\partial }}^{*},}$

さらに、他の2つのラプラシアンが定義される。

${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }},\ \ \ \ \Delta _{\partial }=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial .}$

もし${\displaystyle X}$ケーラーである場合、ケーラー恒等式は、これらのラプラシアンが定数を除いてすべて同じであることを意味します。^{[ 9 ]}

${\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\bar {\partial }}=2\Delta _{\partial }.}$

これらの恒等式は、ケーラー多様体上で${\displaystyle X}$、

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{r}(X)=\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {H}}^{p,q}(X),}$

どこ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{r}}$調和空間${\displaystyle r}$-フォーム${\displaystyle X}$（フォーム）${\displaystyle \alpha }$と${\displaystyle \Delta \alpha =0}$） そして${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p,q}}$調和空間${\displaystyle (p,q)}$-形式。つまり、微分形式${\displaystyle \alpha }$調和的であるのは、その各${\displaystyle (p,q)}$構成要素は調和的である。

さらに、コンパクトなケーラー多様体の場合${\displaystyle X}$ド・ラームコホモロジーまたはドルボーコホモロジーのすべてのコホモロジー類は、一意の調和表現子を含む。したがって、調和形式を(p,q)成分に分解すると、ホッジ分解が生じる。

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbb {R} )=\bigoplus _{p+q=r}H^{p,q}(X,\mathbb {C} ).}$

さらに、ホッジ理論は、ケーラー計量の選択に依存しないこの分裂の解釈を与える。すなわち、コホモロジー${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )}$の${\displaystyle X}$複素係数を持つものは、特定のコヒーレント層コホモロジー群の直接和として分割される: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{p+q=r}H^{q}(X,\Omega ^{p}).}$

左側のグループは${\displaystyle X}$位相空間として、右側のグループは${\displaystyle X}$複素多様体として。したがって、このホッジ分解定理は、コンパクトなケーラー多様体における位相幾何学と複素幾何学を結びつけるものである。

あるいは、Hodge分解はBott-Chernコホモロジー^{[ 11 ]}を用いることでKähler計量に依存しないことが示される。

させて${\displaystyle H^{p,q}(X)}$複素ベクトル空間${\displaystyle H^{q}(X,\Omega ^{p})}$空間と関連付けることができる${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p,q}(X)}$与えられたケーラー計量に関する調和形式のホッジ数。${\displaystyle X}$定義される${\displaystyle h^{p,q}(X)=\mathrm {dim} _{\mathbf {C} }H^{p,q}(X)}$ホッジ分解は、コンパクトなケーラー多様体のベッティ数の分解を意味する。${\displaystyle X}$ホッジ数の観点から見ると：

${\displaystyle b_{r}=\sum _{p+q=r}h^{p,q}.}$

コンパクトなケーラー多様体のホッジ数はいくつかの恒等式を満たす。ホッジ対称性${\displaystyle h^{p,q}=h^{q,p}}$ラプラシアンが成り立つため${\displaystyle \Delta _{d}}$は実在の演算子なので、${\displaystyle H^{p,q}={\overline {H^{q,p}}}}$アイデンティティ${\displaystyle h^{p,q}=h^{n-p,n-q}}$ホッジスター演算子が同型写像を与えることを用いて証明できる。${\displaystyle H^{p,q}\cong {\overline {H^{n-p,n-q}}}}$これはセル双対性からも導かれる。

ホッジ理論の単純な帰結は、すべての奇数ベッティ数が${\displaystyle b_{2a+1}}$コンパクトなケーラー多様体の は、ホッジ対称性により偶数である。これは一般にコンパクトな複素多様体には当てはまらない。ホップ曲面の例が示すように、 は と微分同相である。${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{3}}$そして、${\displaystyle b_{1}=1}$。

「ケーラーパッケージ」は、ホッジ理論に基づいて、コンパクトケーラー多様体のコホモロジーに対するさらなる制約の集合です。結果には、レフシェッツ超平面定理、ハードレフシェッツ定理、およびホッジ・リーマン双線形関係が含まれます。^{[ 12 ]}関連する結果として、すべてのコンパクトケーラー多様体は、有理ホモトピー理論の意味で形式的です。 ^{[ 13 ]}

コンパクトケーラー多様体の基本群（ケーラー群と呼ばれる）になり得る群はどれかという問題は未解決のままである。ホッジ理論は、可能なケーラー群に多くの制約を与えている。^{[ 14 ]}最も単純な制約は、ケーラー群のアーベル化は偶数階数でなければならないということである。ベッティ数${\displaystyle b_{1}}$コンパクトケーラー多様体の整数は偶数である。（例えば、整数${\displaystyle \mathbb {Z} }$コンパクトケーラー多様体の基本群ではない。）非可換ホッジ理論などの理論の拡張は、どの群がケーラー群になり得るかについて、さらに制約を与える。

ケーラー条件がない場合、状況は単純です。クリフォード・トーベスは、すべての有限表示群は、次元3のコンパクト複素多様体の基本群として生じることを示しました。 ^{[ 15 ]} （逆に、任意の閉多様体の基本群は有限表示です。）

小平埋め込み定理は、すべてのコンパクトケーラー多様体の中で滑らかな複素射影多様体を特徴づける。すなわち、コンパクト複素多様体${\displaystyle X}$射影的であるのは、ケーラー形式が存在する場合に限る。${\displaystyle \omega }$の上${\displaystyle X}$誰のクラスで${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {R} )}$は、積分コホモロジー群の像である。${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$（ケーラー形式の正の倍数はケーラー形式であるため、次のように言うことと同等である。${\displaystyle X}$ケーラー形式を持ち、そのクラスは${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {R} )}$から来る${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Q} )}$（同様に）${\displaystyle X}$射影的であるのは、正則線束が存在する場合に限る。${\displaystyle L}$の上${\displaystyle X}$曲率がエルミート形式である${\displaystyle \Theta }$正の値です（${\displaystyle {\frac {i}{2\pi }}\Theta }$は、最初のチャーンクラスを表すケーラー形式である。${\displaystyle L}$で${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ケーラーのどのフォームでも${\displaystyle \omega }$誰のクラスで${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {R} )}$に属する${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$これはホッジフォームと呼ばれています${\displaystyle X}$、およびそれに関連付けられたリーマン計量${\displaystyle \omega }$これはホッジ計量と呼ばれます。ホッジ計量を備えたコンパクトなケーラー多様体はホッジ多様体と呼ばれます。^{[ 16 ] [ 17 ]}

ケーラー多様体の多くの性質は、より一般的な場合において成り立つ。${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-多様体、つまりコンパクトな複素多様体で、${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-補題が成り立つ。特に、Bott–Chernコホモロジーはコンパクト複素多様体のDolbeaultコホモロジーの代替であり、多様体が以下の条件を満たす場合に限り同型である。${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-補題であり、特に多様体がケーラー多様体である場合に一致する。一般に、ボット・チャーン・コホモロジーからドルボー・コホモロジーへの自然な写像の核には、多様体がケーラー多様体ではないことに関する情報が含まれている。^{[ 18 ]}

すべてのコンパクト複素曲線は射影的ですが、少なくとも 2 次元の複素数では、射影的ではないコンパクト ケーラー多様体が多数存在します。たとえば、ほとんどのコンパクト複素トーラスは射影的ではありません。すべてのコンパクト ケーラー多様体は、少なくとも (複素構造を連続的に変化させることによって) 滑らかな射影多様体に変形できるかどうかを問うことができます。小平邦彦の曲面の分類に関する研究は、複素数 2 のすべてのコンパクト ケーラー多様体は実際に滑らかな射影多様体に変形できることを示唆しています。しかし、クレア・ヴォワザンは、少なくとも 4 次元ではこれが成り立たないことを発見しました。彼女は、滑らかな複素射影多様体とホモトピー同値ですらない複素数 4 のコンパクト ケーラー多様体を構築しました。^{[ 19 ]}

コンパクト複素多様体全体の中からコンパクトケーラー多様体の特徴付けを求めることもできます。複素次元2では、小平とYum-Tong Siuは、コンパクト複素曲面がケーラー計量を持つのは、その第一ベッティ数が偶数である場合のみであることを示しました。^{[ 4 ]}コンパクト複素曲面の分類を用いた困難なケースバイケースの研究を必要としないこの結果の別の証明は、BuchdahlとLamariによって独立に提供されました。^{[ 20 ] [ 21 ]}したがって、「ケーラー」はコンパクト複素曲面の純粋に位相的な性質です。しかし、 Hironakaの例は、少なくとも3次元ではこれが成り立たないことを示しています。より詳細には、この例は、ほとんどのファイバーがケーラー（射影的）であるが、1つのファイバーがケーラーではない滑らかなコンパクト複素3次元多様体の1パラメータ族です。したがって、コンパクトケーラー多様体は、非ケーラー複素多様体と微分同相である可能性があります。

ケーラー多様体は、一定のリッチ曲率を持つ場合、ケーラー・アインシュタイン多様体と呼ばれる。言い換えれば、リッチ曲率テンソルは一定値に等しい。${\displaystyle \lambda }$メトリックテンソルの倍数、${\displaystyle \mathrm {Ric} =\lambda g}$アインシュタインへの言及は一般相対性理論に由来するもので、質量が存在しない場合、時空はリッチ曲率がゼロの4次元ローレンツ多様体であると主張する。詳細はアインシュタイン多様体に関する記事を参照のこと。

リッチ曲率は任意のリーマン多様体に対して定義されるが、ケーラー幾何学においては特別な役割を果たす。ケーラー多様体のリッチ曲率は${\displaystyle X}$は、接束の第一チャーン類を表す実閉（1,1）形式と見なすことができる。${\displaystyle X}$で${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {R} )}$コンパクトなケーラー・アインシュタイン多様体の正準束は次のようになる。${\displaystyle X}$定数が反豊富か、相同的に自明か、豊富かによって決まる。${\displaystyle \lambda }$は正、ゼロ、または負のいずれかです。これら 3 種類のコンパクト ケーラー多様体は、それぞれファノ多様体、カラビ・ヤウ多様体、または十分な標準束を持つ多様体 (これは一般型を意味します) と呼ばれます。小平埋め込み定理により、ファノ多様体と十分な標準束を持つ多様体は自動的に射影多様体になります。

Shing-Tung Yau は、カラビ予想を証明しました。すなわち、十分な標準束を持つすべての滑らかな射影多様体は、ケーラー-アインシュタイン計量 (一定の負のリッチ曲率を持つ) を持ち、すべてのカラビ-ヤウ多様体は、ケーラー-アインシュタイン計量 (ゼロのリッチ曲率を持つ) を持つということです。これらの結果は、代数多様体の分類にとって重要であり、十分な標準束を持つ多様体に対するミヤオカ-ヤウ不等式や、カラビ-ヤウ多様体に対するボーヴィル-ボゴモロフ分解などの応用があります。^{[ 22 ]}

対照的に、すべての滑らかなファノ多様体がケーラー・アインシュタイン計量（一定の正のリッチ曲率を持つ）を持つわけではありません。しかし、Xiuxiong Chen、Simon Donaldson、およびSong Sunは、Yau– Tian –Donaldson予想を証明しました。すなわち、滑らかなファノ多様体がケーラー・アインシュタイン計量を持つのは、それがK安定である場合のみであり、これは純粋に代数幾何学的な条件です。

ケーラー・アインシュタイン計量が存在しない状況では、定数スカラー曲率ケーラー計量や極値ケーラー計量などの緩やかな一般化を研究することが可能です。ケーラー・アインシュタイン計量が存在できる場合、これらのより広範な一般化は自動的にケーラー・アインシュタイン計量となります。

• ほぼ複素多様体
• ハイパーケーラー多様体
• 四元数ケーラー多様体
• Kエネルギー汎関数

• 「ケーラー多様体」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• アンドレイ・モロイアヌ (2004)、ケーラー幾何学の講義(PDF)