最小限の表面

数学において、極小曲面とは、局所的に面積を最小化する曲面のことです。これは、平均曲率がゼロであることと同等です(以下の定義を参照)。

「極小面」という用語が使用されるのは、これらの面がもともと、何らかの制約の下で総表面積を最小化する面として生まれたためです。面積を最小化する極小面の物理的モデルは、金網を石鹸水に浸して石鹸膜を形成することで作成できます。石鹸膜は、金網を境界とする極小面です。ただし、この用語は、自己交差したり制約を持たない、より一般的な面に対して使用されます。特定の制約に対して、面積の異なる複数の極小面が存在する場合もあります (たとえば、回転の極小面を参照​​)。標準的な定義は、局所最適値にのみ関連し、大域最適値には関連しません。

極小曲面は、いくつかの同値な方法で定義できます。それらが同値であるという事実は、極小曲面理論がいくつかの数学分野、特に微分幾何学、変分法、ポテンシャル理論、複素解析、数理物理学の交差点にあることを示しています。^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

局所最小面積の定義: 表面が最小であるためには、すべての点p ∈ Mに、同じ境界を持つすべての表面の中で面積が最小となるような、単純な閉曲線で囲まれた近傍が存在する必要があります。${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

この特性は局所的です。つまり、極小面内に、同じ境界を持つより小さな面積の他の面とともに領域が存在する可能性があります。この特性は石鹸膜との関連を確立します。境界としてワイヤーフレームを持つように変形された石鹸膜は、面積を最小化します。

変分定義: 曲面が極小となるのは、それがコンパクトに支えられたすべての変分に対して関数的な領域の臨界点である場合のみです。${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

この定義により、極小曲面は測地線に対する 2 次元の類似物となり、測地線は長さ関数の臨界点として同様に定義されます。

平均曲率の定義: 表面の平均曲率がすべての点でゼロに等しい場合にのみ、表面は最小になります。${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

この定義の直接的な意味は、表面上のすべての点が等しく反対の主曲率を持つ鞍点であるということです。さらに、これは極小曲面を平均曲率流の静的解にします。ヤング・ラプラス方程式によれば、石鹸膜の平均曲率は両側の圧力差に比例します。石鹸膜が領域を囲んでいない場合は、その平均曲率はゼロになります。対照的に、球形の石鹸の泡は外部領域とは異なる圧力を持つ領域を囲んでいるため、平均曲率はゼロではありません。

微分方程式の定義：面が極小であるのは、それが局所的に次の解のグラフとして表現できる場合のみである。${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle (1+u_{x}^{2})u_{yy}-2u_{x}u_{y}u_{xy}+(1+u_{y}^{2})u_{xx}=0}$

この定義における偏微分方程式は、もともと1762年にラグランジュによって発見され、^[2]ジャン・バティスト・ミュニエは1776年にそれが平均曲率が消失することを示唆していることを発見しました。^[3]

エネルギーの定義:共形浸漬が最小となるのは、それがコンパクトに支えられたすべての変分に対するディリクレ エネルギーの臨界点である場合、または同等に、任意の点がその境界に対して最小のエネルギーを持つ近傍を持つ場合のみです。${\displaystyle X:M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle p\in M}$

この定義は、極小曲面を調和関数とポテンシャル理論に結び付けます。

調和関数の定義: がリーマン面の3 次元空間への等長浸漬である場合、 が各 に対して上の調和関数であるときはいつでも、 は最小であるといわれます。${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle i}$

この定義と調和関数の最大値原理の直接的な意味は、 にはコンパクト で完全な極小曲面が存在しないということです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ガウス写像の定義: 面が極小となるのは、その立体投影されたガウス写像が基礎となるリーマン面構造に関して有理型であり、球面の一部ではない場合のみです。${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle g:M\rightarrow \mathbb {C} \cup {\infty}}$${\displaystyle M}$

この定義では、平均曲率が形状演算子のトレースの半分であり、ガウス写像の導関数にリンクされていることを利用しています。投影されたガウス写像がコーシー・リーマン方程式に従う場合、トレースが消えるか、Mのすべての点が臍 になり、後者の場合は球の一部になります。

局所最小面積と変分定義により、極小面を以外のリーマン多様体に拡張することができる。[ 4 ^]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

極小曲面理論は、 1762年に与えられた閉曲線に沿って伸びる面積が最小の表面積を持つ曲面を見つける変分問題を考えたラグランジュに由来する。彼は、解として オイラー・ラグランジュ方程式を導出した。${\displaystyle z=z(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {z_{x}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)+{\frac {d}{dy}}\left({\frac {z_{y}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)=0}$

彼は平面を超える解を見つけることに成功しなかった。1776 年にジャン バティスト マリー ミュニエは、ヘリコイドとカテノイドが方程式を満たし、微分表現が表面の平均曲率の 2 倍に対応することを発見し、平均曲率がゼロの表面は面積が最小であると結論付けた。

ラグランジュ方程式を展開すると

${\displaystyle \left(1+z_{x}^{2}\right)z_{yy}-2z_{x}z_{y}z_{xy}+\left(1+z_{y}^{2}\right)z_{xx}=0}$

ガスパール・モンジュとルジャンドルは1795 年に解曲面の表現式を導出した。これらは1830 年にハインリッヒ・シェルクが曲面を導くのにうまく利用されたが、実用上は使用できないと一般に考えられていた。カタランは1842/43 年にヘリコイドが唯一の線引き極小曲面であることを証明した。

19 世紀半ばまで、ビョーリング問題が複素法で解決されるまで、進歩はかなり遅かった。極小曲面の「最初の黄金時代」が始まった。シュワルツは1865 年に正四辺形に対するプラトー問題の解を、1867 年には一般四辺形に対するプラトー問題の解を複素法で発見した (これにより、彼の周期曲面族の構築が可能になった)。ワイエルシュトラスとエネパーは、極小曲面を複素解析と調和関数にしっかりと結び付ける、より有用な表現式を開発した。その他の重要な貢献は、ベルトラミ、ボネ、ダルブー、リー、リーマン、セレット、ワインガルテンによるものである。

1925 年から 1950 年にかけて極小曲面理論が復活し、今度は主に非パラメトリック極小曲面を対象としました。ジェシー・ダグラスとティボール・ラドーによるプラトー問題の完全解決は大きなマイルストーンでした。バーンスタインの問題とロバート・オッサーマンによる有限全曲率の完全極小曲面に関する研究も重要でした。

1980 年代には、もう一つの復活が始まりました。その原因の 1 つは、1982 年に Celso Costa が、平面、カテノイド、ヘリコイドが有限位相型の唯一の完全な埋め込み極小面であるという推測を反証する面を発見したことです。これは、古いパラメトリック手法を使用する新しい研究を刺激しただけでなく、研究対象の表面を視覚化するためのコンピュータ グラフィックスと、「周期問題」を解決するための数値手法の重要性を示しました (共役面法を使用して、より大きな対称面に組み立てることができる表面パッチを決定する場合、埋め込み面を生成するために特定のパラメーターを数値的に一致させる必要があります)。もう 1 つの原因は、 1970 年に Alan Schoen が経験的に最初に説明した3 重周期極小面が実際に存在することを H. Karcher が検証したことです。これにより、豊富な表面ファミリーと、ハンドルを追加したり、変形したりして古い表面から新しい表面を派生させる方法が生まれました。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

現在、極小曲面の理論は他のアンビエント幾何学における極小部分多様体へと多様化し、数理物理学（例えば、正の質量予想、ペンローズ予想）や三多様体幾何学（例えば、スミス予想、ポアンカレ予想、サーストン幾何化予想）に関連するようになっています。

極小曲面の古典的な例には以下のものがあります。

• 平面は、些細なケースである
• カテノイド:カテナリーを準線の周りで 1回転させて作る極小面
• 螺旋: 線に垂直な軸の周りを等速で回転し、同時に軸に沿って等速で移動する線によって掃引される面

19 世紀の黄金時代のサーフェスには次のものがあります。

• シュワルツ極小面：三重周期面であり、${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• リーマンの極小面：死後に記述された周期面
• エンネパー表面
• ヘネベルグ面：最初の非方向性極小面
• ブールの極小曲面
• ネオビウス面：三重周期面

最新のサーフェスには次のものが含まれます。

• ジャイロイド：1970年のシェーンの表面の1つ。液晶構造に特に興味深い3周期表面。
• サドルタワーファミリー：シェルクの第二曲面の一般化
• コスタの極小曲面: 有名な予想の反証。1982 年にセルソ コスタによって説明され、後にジム ホフマンによって視覚化されました。その後、ジム ホフマン、デビッド ホフマン、ウィリアム ミークス 3 世は定義を拡張し、異なる回転対称性を持つ一連の曲面を作成しました。
• Chen –Gackstatter 曲面ファミリー。Enneper 曲面にハンドルを追加します。

極小曲面は、双曲空間、高次元空間、リーマン多様体など、 以外の多様体でも定義できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

極小曲面の定義は、一定平均曲率曲面（必ずしもゼロである必要のない一定の平均曲率を持つ曲面）をカバーするように一般化/拡張できます。

等温面の曲率線は等温ネットを形成する。^[5]

離散微分幾何学では、離散極小曲面、すなわち頂点位置の小さな摂動の下で面積を最小化する三角形の単体複合体が研究されます。 ^[6]このような離散化は、閉じた形式の表現が知られていない場合でも、極小曲面を数値的に近似するためによく使用されます。

極小曲面上のブラウン運動は、極小曲面上のいくつかの定理の確率的証明につながる。 ^[7]

極小曲面は、複雑な材料の自己組織化への応用が期待されているため、特に分子工学や材料科学の分野で熱心な科学的研究の対象となっている。 ^{[8]細胞生物学における重要な構造である}小胞体は、非自明な極小曲面に適応するように進化圧力を受けていると提案されている。^[9]

一般相対性理論とローレンツ幾何学の分野では、見かけの地平線として知られる極小面の概念の特定の拡張と修正が重要である。^[10]事象の地平線とは対照的に、それらはブラックホールの境界を理解するための曲率ベースのアプローチを表す。

最小限の表面を持つ構造物はテントとして使用できます。

極小曲面は、現代のデザイナーが使用するジェネレーティブデザインツールボックスの一部です。建築では、極小曲面と密接に関連する張力構造に大きな関心が寄せられています。注目すべき例としては、フライ・オットー、坂茂、ザハ・ハディドの作品が挙げられます。フライ・オットーによるミュンヘンオリンピックスタジアムのデザインは、石鹸の表面に触発されました。^[11]フライ・オットーによるもう1つの注目すべき例は、カナダのモントリオールで開催された万博67のドイツ館です。^[12]

芸術の世界では、ロバート・エングマン（1927年 - 2018年）、ロバート・ロングハースト（1949年 - ）、チャールズ・O・ペリー（1929年 - 2011年）などの彫刻作品を通して、極小表面が広く探求されてきました。

教科書

• R. Courant .ディリクレの原理、等角写像、極小曲面。付録：M. Schiffer。Interscience Publishers, Inc.、ニューヨーク、NY、1950年。xiii+330 ページ。
• H. ブレイン・ローソン・ジュニア著 「極小部分多様体に関する講義」第 1 巻、第 2版。数学講義シリーズ、9。Publish or Perish, Inc.、デラウェア州ウィルミントン、1980 年。iv+178 ページ。ISBN 0-914098-18-7 
• ロバート・オッサーマン著『極小曲面の概観』第2版。ドーバー出版、ニューヨーク、1986年。207頁。ISBN 0-486-64998-9、MR 0852409 
• ヨハネス CC ニッチェ。極小曲面に関する講義。第 1 巻。序論、基礎、幾何学、基本的な境界値問題。ドイツ語からジェリー M. フェインバーグが翻訳。ドイツ語の序文付き。ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、1989 年。xxvi+563 ページ。ISBN 0-521-24427-7 
• 西川清樹 (2002)。『幾何学における変分問題』。数学モノグラフ翻訳、岩波現代数学叢書。第205巻。阿部公悦訳。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。ISBN 0821813560. ISSN  0065-9282、翻訳元:{{cite book}}: CS1 メンテナンス: 追記 (リンク)

• 西川青季 (1998).幾何幾何変分問題. 岩波講座現代数学の基礎。 Vol. 28. 東京：岩波書店。ISBN 4-00-010642-2。

• ウルリッヒ・ディエルケス、ステファン・ヒルデブラント、フリードリヒ・ソーヴィニー。最小限の表面。改訂増補第２版。 A. Küster と R. Jakob の支援と貢献による。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、339. Springer、ハイデルベルク、2010. xvi+688 pp. ISBN 978-3-642-11697-1、doi :10.1007/978-3-642-11698-8 、MR 2566897
• トビアス・ホルク・コールディングとウィリアム・P・ミニコッツィ、II。最小限の路面で構成されたコース。数学大学院、121。米国数学協会、ロードアイランド州プロビデンス、2011 年。xii+313 pp. ISBN 978-0-8218-5323-8 

オンラインリソース

• Karcher, Hermann; Polthier, Konrad (1995)。「石鹸膜に触れる - 極小表面の紹介」 。2006年12 月 27 日閲覧。 (極小曲面と石鹸膜のグラフィカルな紹介。)
• Jacek Klinowski. 「周期極小曲面ギャラリー」 . 2009 年2 月 2 日閲覧。 (古典的および現代的な例を含む極小曲面のコレクション)
• Martin Steffens および Christian Teitzel。「Grape Minimal Surface Library」 。2008年10 月 27 日閲覧。 （極小曲面の集合）
• Various (2000). 「EG-Models」 . 2004年9月28日閲覧。 (極小曲面のモデルがいくつか公開されているオンラインジャーナル)

• 「極小曲面」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 3D-XplorMath-J ホームページ — インタラクティブな数学的視覚化のための Java プログラムとアプレット
• 回転可能な極小面のギャラリー
• 回転/ズーム可能な極小表面の WebGL ベースのギャラリー