シーゲル上部ハーフスペース

数学において、g次（または種数g ）のシーゲル上半空間（シーゲル上半平面とも呼ばれる）は、虚数部が正定値である複素数上のg  ×  g対称行列の集合である。これはシーゲル（1939）によって導入された。これはシンプレクティック群Sp(2 g , R )に関連付けられた対称空間 である。

ジーゲル上半空間は、g = 1の特殊なケースにおけるジーゲル上半空間である上半平面の特性を一般化する複素多様体としての特性を持つ。多様体の複素構造を保存する自己同型群は、シンプレクティック群Sp(2 g , R )に同型である。2 次元双曲計量が、等長変換群が複素自己同型群SL(2, R ) = Sp(2, R )である上半平面上の唯一の (スケーリングを除く) 計量であるのと同様に、ジーゲル上半空間には、等長変換群がSp(2 g , R )であるスケーリングを除く唯一の計量がある。ジーゲル上半空間の一般行列Z を、実部と虚部を使ってZ = X + iYと書くと、等長 変換群Sp(2 g , R )を持つすべての計量は、

${\displaystyle ds^{2}={\text{tr}}(Y^{-1}dZY^{-1}d{\bar {Z}})。}$

ジーゲル上半平面は、基底次元実ベクトル空間上のシンプレクティック構造と両立する、ほぼ複素構造の集合、つまり、 すべてのベクトルに対してかつと なるようなの集合と同一視できる。^[1]${\displaystyle \omega}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle J\in Hom(V)}$${\displaystyle J^{2}=-1}$${\displaystyle \omega (Jv,v)>0}$${\displaystyle v\neq 0}$

• アーベル多様体のモジュライ
• パラモジュラー群、シーゲルモジュラー群の一般化
• シーゲル領域、シーゲル上半空間の一般化
• ジーゲルモジュラー形式、ジーゲル上半空間上で定義される保型形式の一種
• シーゲルモジュラー多様体、シーゲル上半空間の商として構成されるモジュライ空間

• Bowman, Joshua P. 「Siegel 半平面に関するいくつかの基本的な結果」(PDF)。。

• van der Geer、Gerard (2008)、「Siegel モジュラー形式とその応用」、Ranestad、Kristian (編)、「The 1-2-3 of modular form」、Universitext、ベルリン: Springer-Verlag、181–245 ページ、土居：10.1007/978-3-540-74119-0、ISBN 978-3-540-74117-6、MR  2409679

• ニールセン、フランク (2020)、「シーゲル・クライン円盤：シーゲル円盤領域のヒルベルト幾何学」、エントロピー、22 (9): 1019、arXiv：2004.08160、doi：10.3390/e22091019、PMC  7597112、PMID  33286788

• Siegel、Carl Ludwig (1939)、「Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades」、Mathematische Annalen、116 : 617–657、doi :10.1007/BF01597381、ISSN  0025-5831、MR  0001251、S2CID  124337559