ddbar 補題

複素幾何学において、補題（発音はddbar lemma）は、複素微分形式のde Rham コホモロジー類に関する数学的な補題である。 -補題は、コンパクトなケーラー多様体上のホッジ理論とケーラー恒等式の結果である。関連する演算子 の使用により、-補題とも呼ばれることがある。2つの演算子の関係は であり、したがって である。^{[1] : 1.17  [2] : Lem 5.50}${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle dd^{c}}$${\textstyle d^{c}=-{\frac {i}{2}}(\partial -{\bar {\partial }})}$${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}=dd^{c}}$${\displaystyle \alpha =dd^{c}\beta }$

この補題は、がコンパクトなケーラー多様体であり、が複素微分形式 (p,q) であり、そのクラスがド・ラーム・コホモロジーにおいてゼロであるとき、次数 (p-1,q-1) の形式が 存在し、${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}$${\displaystyle p,q\geq 1}$${\displaystyle [\alpha ]\in H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$

$${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta ,}$$

ここで、およびは複素多様体のドルボー作用素である。^{[3] : Ch VI Lem 8.6}${\displaystyle \partial}$${\displaystyle {\bar {\partial}}}$ ${\displaystyle X}$

この形式はの-ポテンシャルと呼ばれます。因子 を含めることでが実微分演算子であることが保証されます。 つまり、 が実係数の微分形式であれば も実係数になります。${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$

この補題は、ド・ラーム・コホモロジーにおける正確な微分形式の概念と比較されるべきである。特に、 が（任意の滑らかな多様体上の）閉微分 k 形式であり、その類がド・ラーム・コホモロジーにおいてゼロである場合、 の-ポテンシャル（または単にポテンシャル）と呼ばれる何らかの微分（k-1）形式に対して、 は外微分である。実際、ドルボー演算子を足し合わせると外微分 が得られ、平方すると 0 が得られることから、-補題は となり、コンパクト・ケーラー多様体の設定において-ポテンシャルが -ポテンシャルに洗練される。 ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(X)}$${\displaystyle \alpha =d\gamma }$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=0}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \gamma ={\bar {\partial }}\beta }$${\displaystyle d}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

-補題はコンパクトなケーラー多様体に適用されたホッジ理論の結果である。 ^{[3] [1] : 41–44  [2] : 73–77}${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

楕円複体のホッジ定理は、任意の演算子とそれぞれのラプラス演算子に適用できます。これらの演算子に対して、カーネルによって与えられる調和微分形式の空間を定義できます。 ${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$${\displaystyle \Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}_{d}^{k}&=\ker \Delta _{d}:\Omega ^{k}(X)\to \Omega ^{ k}(X)\\{\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}&=\ker \Delta _{\partial }:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\\{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}&=\ker \Delta _{\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\\\end{aligned}}}$$

ホッジ分解定理は、これらの調和形式の空間には3つの直交分解が存在することを主張しており、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega ^{k}(X)&={\mathcal {H}}_{d}^{k}\oplus \operatorname {im} d\oplus \operatorname {im} d^{*}\\\Omega ^{p,q}(X)&={\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}\oplus \operatorname {im} \partial \oplus \operatorname {im} \partial ^{*}\\\Omega ^{p,q}(X)&={\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}\end{aligned}}}$$

ここで、はそれぞれケーラー多様体のリーマン計量に関する の形式的随伴である。 ^{[4] : Thm. 3.2.8}これらの分解は任意のコンパクトな複素多様体上で別々に成り立つ。ケーラー多様体であることの重要性は、 のラプラシアンと、したがって上記の直交分解の のラプラシアンとの間に関係があることである。特にコンパクトなケーラー多様体上では ${\displaystyle d^{*},\partial ^{*},{\bar {\partial }}^{*}}$${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$${\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}$

$${\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\partial }=2\Delta _{\bar {\partial }}}$$

これは直交分解を意味する

$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{d}^{k}=\bigoplus _{p+q=k}{\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}=\bigoplus _{p+q=k}{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}}$$

ここで、と調和形式の空間を関連付けるさらなる関係式がある。 ^{[4] ：命題3.1.12}${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}={\overline {{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{q,p}}}}$${\displaystyle \partial}$${\displaystyle {\bar {\partial}}}$

上記の分解の結果、次の補題が証明できます。

証明は以下の通りである。^{[4] : 相関。3.2.10 を}コンパクト ケーラー多様体上の閉じた (p,q)-形式とする。(d) から (a)、(b)、(c) が導かれることはすぐに分かる。さらに、上記の直交分解から (a)、(b)、(c) のいずれも (e) を意味することが分かる。したがって、主な難しさは (e) から (d) が導かれることを示すことである。 ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}$${\displaystyle (X,\omega )}$

そのためには、 が部分空間 に直交していると仮定します。すると になります。は-閉でありなので、 も -閉です(つまり)。と が含まれる場合、この和はリーマン計量によって誘導される 内積に関する直交分解から得られるので、${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)}$${\displaystyle \alpha \in \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$${\displaystyle {\bar {\partial}}}$${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$${\displaystyle \alpha =\alpha '+\alpha ''}$${\displaystyle \alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \alpha ''={\bar {\partial }}^{*}\gamma }$${\displaystyle \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}}$${\displaystyle \langle -,-\rangle }$

$${\displaystyle \langle \alpha '',\alpha ''\rangle =\langle \alpha ,\alpha ''\rangle =\langle \alpha ,{\bar {\partial }}^{*}\gamma \rangle =\langle {\bar {\partial }}\alpha ,\gamma \rangle =0}$$

あるいは言い換えれば、 および である。したがって となる。これにより、何らかの微分形式 について と書くことができる。についてホッジ分解を適用すると、 ${\displaystyle \|\alpha ''\|^{2}=0}$${\displaystyle \alpha ''=0}$${\displaystyle \alpha =\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\eta }$${\displaystyle \eta \in \Omega ^{p,q-1}(X)}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \eta }$

$${\displaystyle \eta =\eta _{0}+\partial \eta '+\partial ^{*}\eta ''}$$

ここでは-調和で、です。この等式はも-調和であり、したがって であることを意味します。したがって です。ただし、は-閉であるため、これも-閉です。次に、上記と同様のトリックを使用して、 ${\displaystyle \eta _{0}}$${\displaystyle \Delta _{\partial }}$${\displaystyle \eta '\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$${\displaystyle \eta ''\in \Omega ^{p+1,q-1}(X)}$${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}=\Delta _{\partial }}$${\displaystyle \eta _{0}}$${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}}$${\displaystyle {\bar {\partial }}\eta _{0}={\bar {\partial }}^{*}\eta _{0}=0}$${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '+{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle d}$${\displaystyle \partial }$

$${\displaystyle \langle {\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta '',{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''\rangle =\langle \alpha ,{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''\rangle =-\langle \alpha ,\partial ^{*}{\bar {\partial }}\eta ''\rangle =-\langle \partial \alpha ,{\bar {\partial }}\eta ''\rangle =0,}$$

また、ケーラーの恒等式を適用して と を設定します。したがって、 と を設定すると-ポテンシャルが生成されます。 ${\displaystyle {\bar {\partial }}\partial ^{*}=-\partial ^{*}{\bar {\partial }}}$${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '}$${\displaystyle \beta =i\eta '}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

-補題の局所バージョンは成り立ち、ホッジ分解定理に頼ることなく証明することができる。^{[4] : 例 1.3.3、Rmk 3.2.11}これは、演算子に対するポアンカレ補題またはドルボ-グロタンディーク補題の類似物である。局所-補題は、前述の補題が成り立つ任意の領域上で成り立つ。 ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

証明は前述の補題からすぐに得られます。まず、が局所的にあるに対して形式である場合、、、およびであるため、であることに注目してください。一方、が -閉じているとします。すると、ポアンカレの補題により、任意の点の開近傍と となる形式が存在することになります。ここで、およびについて書き、 における形式の 2 次数を比較すると、およびとなり、とな​​ることに注意してください。開近傍 のサイズを縮小した後で、ドルボー–グロタンディークの補題を および(後者は のため) に適用して、およびとなる局所形式を得ることができます。これにより、として証明が完了します。ここでです。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle d\alpha =d(i\partial {\bar {\partial }}\beta )=i(\partial +{\bar {\partial }})(\partial {\bar {\partial }}\beta )=0}$${\displaystyle \partial ^{2}=0}$${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}=-{\bar {\partial }}\partial }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle d}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle \gamma \in \Omega ^{p+q-1}(U)}$${\displaystyle \alpha =d\gamma }$${\displaystyle \gamma =\gamma '+\gamma ''}$${\displaystyle \gamma '\in \Omega ^{p-1,q}(X)}$${\displaystyle \gamma ''\in \Omega ^{p,q-1}(X)}$${\displaystyle d\alpha =(\partial +{\bar {\partial }})\alpha =0}$${\displaystyle d\alpha }$${\displaystyle {\bar {\partial }}\gamma '=0}$${\displaystyle \partial \gamma ''=0}$${\displaystyle \alpha =\partial \gamma '+{\bar {\partial }}\gamma ''}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \gamma '}$${\displaystyle {\overline {\gamma ''}}}$${\displaystyle {\overline {\partial \gamma ''}}={\bar {\partial }}({\overline {\gamma ''}})=0}$${\displaystyle \eta ',\eta ''\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}$${\displaystyle \gamma '={\bar {\partial }}\eta '}$${\displaystyle {\overline {\gamma ''}}={\bar {\partial }}\eta ''}$${\displaystyle \gamma ''=\partial {\overline {\eta ''}}}$${\displaystyle \alpha =\partial {\bar {\partial }}\eta '+{\bar {\partial }}\partial {\overline {\eta ''}}=i\partial {\bar {\partial }}\beta }$${\displaystyle \beta =-i\eta '+i{\overline {\eta ''}}}$

ボット・チャーン・コホモロジーは、演算子およびに依存するコンパクト複素多様体のコホモロジー理論であり、-補題が成立しない程度を測定します。特に、コンパクト複素多様体がケーラー多様体である場合、ボット・チャーン・コホモロジーはドルボー・コホモロジーと同型ですが、一般にはより多くの情報を含んでいます。 ${\displaystyle \partial }$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

コンパクト複素多様体^[3]のボット・チャーンコホモロジー群は次のように定義される。

$${\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)={\frac {\ker(\partial :\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p+1,q})\cap \ker({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1})}{\operatorname {im} (\partial {\bar {\partial }}:\Omega ^{p-1,q-1}\to \Omega ^{p,q})}}.}$$

と-閉である微分形式は -閉なので、ボット・チャーン・コホモロジー群からド・ラーム・コホモロジー群への自然な写像が存在する。また、およびドルボー・コホモロジー群への写像も存在する。多様体が-補題を満たす場合、たとえばコンパクト・ケーラー多様体の場合、ボット・チャーン・コホモロジーからドルボー・コホモロジーへの上記の写像は同型であり、さらにボット・チャーン・コホモロジーからド・ラーム・コホモロジーへの写像は単射である。^[5]結果として、同型が存在する。 ${\displaystyle \partial }$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

$${\displaystyle H_{dR}^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=k}H_{BC}^{p,q}(X)}$$

が -補題を満たすときはいつでも。このようにして、上の写像の核は多様体が補題を満たさないことを測定し、特に がケーラー多様体ではないことを測定する。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

-補題の最も重要な結果は、複素微分形式が二次関数 (1,1) を持つときに発生します。この場合、補題は、正確な微分形式が滑らかな関数によって与えられる -ポテンシャルを持つことを示しています。 ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1,1}(X)}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle f\in C^{\infty }(X,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}f.}$$

特に、ケーラー形式がケーラー多様体の小さな開部分集合に制限されている場合（この場合は補題の局所バージョンに従う）にこれが起こり、前述のポアンカレ補題により正確な微分形式であることが保証されます。これにより、ケーラー形式を完全に指定する局所的に定義された関数であるケーラーポテンシャルの概念が生まれます。もう 1 つの重要なケースは、が同じド・ラーム・コホモロジークラス にある 2 つのケーラー形式の差である場合です。この場合、ド・ラーム・コホモロジーでは なので、 -補題が適用されます。ケーラー形式（の差）を単一の関数（自動的に多元調和関数 ）を使用して完全に記述できるようにすることで、コンパクト ケーラー多様体の研究を、多くの分析ツールが利用可能な多元ポテンシャル理論の手法を使用して行うことができます。たとえば、 -補題はケーラー・アインシュタイン方程式をポテンシャルの観点から言い換えるために使用され、ケーラーポテンシャルに対する 複雑なモンジュ・アンペール方程式に変換されます。${\displaystyle \alpha =\omega }$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle \alpha =\omega -\omega '}$${\displaystyle [\omega ]=[\omega ']}$${\displaystyle [\alpha ]=[\omega ]-[\omega ']=0}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

必ずしもケーラー多様体ではないが、-補題を満たす複素多様体は、-多様体として知られています。たとえば、藤木類Cであるコンパクト複素多様体は、-補題を満たすが、必ずしもケーラー多様体ではない。^[5]${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

• ポアンカレの補題
• ドルボー・グロタンディークの補題

• Jean-Pierre, Demailly. 「グルノーブルの個人ページ、出版物を含む」。