正則ベクトル束

数学において、正則ベクトル束は、複素多様体X上の複素ベクトル束であり、全空間Eは複素多様体であり、射影写像π : E → Xは正則である。基本的な例としては、複素多様体の正則接束や、その双対である正則余接束がある。正則直線束は、階数 1 の正則ベクトル束である。

セールのGAGAによれば、滑らかな複素射影多様体 X （複素多様体として見た）上の正則ベクトル束のカテゴリは、 X上の代数ベクトル束（すなわち、有限階数の局所自由層）のカテゴリと同値である。

具体的には、単純化マップが

${\displaystyle \phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {C} ^{k}}$

は双正則写像である。これは遷移関数

${\displaystyle t_{UV}:U\cap V\to \mathrm {GL} _{k}(\mathbf {C} )}$

は正則写像である。複素多様体の接束上の正則構造は、ベクトル値正則関数の（適切な意味での）導関数自体が正則であるという指摘によって保証される。

E を正則ベクトル束とする。局所断面 s  : U → E | _{U は}、 Uの各点の近傍において、何らかの（任意の）自明化において正則である 場合に正則であるという。

この条件は局所的であり、つまり、正則切断がX上の層を形成することを意味します。この層は、または誤ってEと表記されることがあります。このような層は常に局所的に自由であり、ベクトル束の階数と同じ階数です。E が自明な直線束である場合、この層は複素多様体Xの構造層と一致します。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$${\displaystyle {\underline {\mathbf {C} }},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

線束があり、その全体断面は次数（正の整数）の同次多項式に対応する。特に、は自明な線束に対応する。被覆を取ると、次のように定義されるチャートが見つかる。${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}]:x_{i}\neq 0\}}$${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\to \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \phi _{i}([x_{0}:\cdots :x_{i}:\cdots :x_{n}])=\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{i-1}}{x_{i}}},{\frac {x_{i+1}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right)=\mathbb {C} _{i}^{n}}$

遷移関数は次のように定義される。${\displaystyle \phi _{ij}|_{U_{i}\cap U_{j}}:\mathbb {C} _{i}^{n}\cap \phi _{i}(U_{i} \cap U_{j})\to \mathbb {C} _{j}^{n}\cap \phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})}$

${\displaystyle \phi _{ij}=\phi _{i}\circ \phi _{j}^{-1}(z_{1},\ldots ,z_{n})=\left({\frac {z_{1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{i-1}}{z_{i}}},{\frac {z_{i+1}}{z_{i}}}、\ldots 、{\frac {z_{j}}{z_{i}}}、{\frac {1}{z_{i}}}、 {\frac {z_{j+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{n}}{z_{i}}}\right)}$

さて、自明な束を考えると、誘導遷移関数を形成することができる。ファイバー上の座標を使用すると、遷移関数を形成することができる。${\displaystyle L_{i}=\phi _{i}(U_{i})\times \mathbb {C} }$${\displaystyle \psi_{i,j}}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \psi _{i,j}((z_{1},\ldots ,z_{n}),z)=\left(\phi _{i,j}(z_{1},\ldots ,z_{n}),{\frac {z_{i}^{k}}{z_{j}^{k}}}\cdot z\right)}$

任意の整数 に対して、これらはそれぞれ線束 に関連付けられます。ベクトル束は必然的に引き戻されるため、任意の正則部分多様体には線束 が関連付けられます。 線束は と表記されることもあります。${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle f^{*}({\mathcal {O}}(k))}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)|_{X}}$

E が正則ベクトル束であるとする。すると、次のように定義される特別な演算子が存在する。Eの局所自明化において、局所フレーム では、任意の断面をいくつかの滑らかな関数 に対して記述することができる。演算子を局所的に定義する。 ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$${\displaystyle s=\sum _{i}s^{i}e_{i}}$${\displaystyle s^{i}:U_{\alpha }\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(s):=\sum _{i}{\bar {\partial }}(s^{i})\otimes e_{i}}$

ここで は、基本多様体の正則コーシー・リーマン作用素である。この作用素は、 Eの全体にわたって明確に定義されている。なぜなら、正則遷移関数 を持つ2 つの自明化の重なりにおいて、 がEの上の局所フレームである場合、 となり、したがって ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle U_{\alpha },U_{\beta }}$${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$${\displaystyle s=s^{i}e_{i}={\tilde {s}}^{j}f_{j}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle U_{\beta }}$${\displaystyle s^{i}=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\tilde {s}}^{j}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}(s^{i})=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\bar {\partial }}({\tilde {s}}^{j})}$

遷移関数は正則関数であるため、次の定義が導かれる。滑らかな複素ベクトル束上のドルボー作用素は-線型作用素 である。${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}:\Gamma (E)\to \Omega ^{0,1}(M)\otimes \Gamma (E)}$

そのような

• （コーシー・リーマン条件 ）${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}^{2}=0}$
• （ライプニッツの法則）上の任意の断面と関数に対して、${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(fs)={\bar {\partial }}(f)\otimes s+f{\bar {\partial }}_{E}(s)}$。

ニューランダー・ニーレンベルグの定理を応用すると、正則束のドルボー作用素の構成の逆が得られる。^[1]

定理:滑らかな複素ベクトル束上のドルボー作用素が与えられた場合、上には、上記で構築された関連するドルボー作用素となるような唯一の正則構造が存在する。${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$

ドルボー演算子 によって誘導される正則構造に関して、滑らかなセクションは の場合にのみ正則です。これは、滑らかな多様体または複素多様体を環状空間として定義することと道徳的に似ています。つまり、滑らかな構造または複素構造を付与するには、位相多様体上のどの関数が滑らかか複素かを指定するだけで十分です。 ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(s)=0}$

ドルボー作用素はホモトピー作用素に関して局所逆作用素を持つ。^[2]

が( p , q )型のC ^∞微分形式の層を表す場合、Eに値を持つ( p , q )型の層のテンソル積として定義できる。${\displaystyle {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{p,q}(E)\triangleq {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}\otimes E.}$

これらの層は細かいであり、つまり1 の分割を許容します。滑らかなベクトル束と正則ベクトル束の基本的な違いは、後者には上で定義したドルボー演算子によって与えられる標準微分演算子があることです。

${\displaystyle {\overline {\partial }}_{E}:{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\to {\mathcal {E}}^{p,q+1}(E).}$

E が正則ベクトル束である場合、 Eのコホモロジーはの層コホモロジーとして定義されます。特に、 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(E))=\Gamma (X,{\mathcal {O}}(E)),}$

Eの大域的正則切断空間。また、 Xの自明な直線束のEによる拡大群、つまり正則ベクトル束の正確な列0 → E → F → X × C → 0をパラメータ化するも成り立ちます。群構造については、ベール和と層拡大も参照してください。 ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}(E))}$

ドルボーの定理によれば、この層コホモロジーは、正則バンドル内の値を持つ形式の層によって定義される鎖複体のコホモロジーとして記述することもできる。つまり、 ${\displaystyle E}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {O}}(E))=H^{i}(({\mathcal {E}}^{0,\bullet }(E),{\bar {\partial }}_{E})).}$

複素微分幾何学の文脈では、複素多様体Xのピカール群Pic( X )は、テンソル積によって群法則が与えられ、双対化によって反転が与えられる正則直線束の同型類の群である。これは、非ゼロ正則関数の層の 第一コホモロジー群として同値に定義できる。${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$

E を複素多様体M上の正則ベクトル束とし、E上にエルミート計量が存在するとする。つまり、ファイバーE _{xには滑らかに変化する内積 <·,·> が備わっているとする。すると、} E上には複素構造と計量構造の両方に適合する唯一の接続∇ が存在し、これをチャーン接続と呼ぶ。つまり、 ∇ は次のような接続である。

(1) Eの任意_の滑らかな断面sに対して、π0,1はE値1形式の(0,1)成分をとる。${\displaystyle \pi _{0,1}\nabla s={\bar {\partial }}_{E}s}$

（２） Eの任意の滑らかな断面s、tとM上のベクトル場Xに対して、

${\displaystyle X\cdot \langle s,t\rangle =\langle \nabla _{X}s,t\rangle +\langle s,\nabla _{X}t\rangle }$

ここで、 Xによるの縮約について と書きました。(これは、∇ による平行移動が計量 <·,·> を保存すると言うことと同じです。)${\displaystyle \nabla _{X}s}$${\displaystyle \nabla s}$

実際、u = ( e ₁ , …, e _n ) が正則フレームである場合、ω _{u を}次の式で定義します。これは次のように簡単に記述できます。 ${\displaystyle h_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle }$${\displaystyle \sum h_{ik}\,{(\omega _{u})}_{j}^{k}=\partial h_{ij}}$

${\displaystyle \omega _{u}=h^{-1}\partial h.}$

u' = ug が基底gの正則変換を持つ別のフレームである場合、

${\displaystyle \omega _{u'}=g^{-1}dg+g\omega _{u}g^{-1},}$

そして ω は確かに接続形式であり、∇ s = ds + ω · sによって ∇ が生じる。ここで、 であるため、 ${\displaystyle {\overline {\omega }}^{T}={\overline {\partial }}h\cdot h^{-1}}$

${\displaystyle d\langle e_{i},e_{j}\rangle =\partial h_{ij}+{\overline {\partial }}h_{ij}=\langle {\omega }_{i}^{k}e_{k},e_{j}\rangle +\langle e_{i},{\omega }_{j}^{k}e_{k}\rangle =\langle \nabla e_{i},e_{j}\rangle +\langle e_{i},\nabla e_{j}\rangle .}$

つまり、∇は計量構造と互換性があります。最後に、ωは(1, 0)形式なので、の(0, 1)成分はです。 ${\displaystyle \nabla s}$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}s}$

を∇の曲率形式とする。ドルボー作用素の定義により はゼロに二乗されるため、Ω には (0, 2) 成分がなく、Ω は容易に歪エルミートであることが示されるため^[3] 、 (2, 0) 成分も存在しない。したがって、Ω は次式で与えられる (1, 1) 形式である。 ${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$${\displaystyle \pi _{0,1}\nabla ={\bar {\partial }}_{E}}$

${\displaystyle \Omega ={\bar {\partial }}_{E}\omega .}$

曲率 Ω は、正則ベクトル束の高次コホモロジーに対する消失定理、例えば小平の消失定理や中野の消失定理に顕著に現れます。

• バーコフ・グロタンディークの定理
• キレンメトリック
• セール双対性

• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ（1994）、代数幾何学の原理、ワイリークラシックスライブラリー、ニューヨーク：ジョンワイリーアンドサンズ、ISBN 978-0-471-05059-9、MR  1288523
• 「ベクトル束、解析的」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

• 正則ベクトル束の分割原理