K安定性

数学、特に微分幾何学と代数幾何学において、K-安定性は複素多様体と複素代数多様体に対する代数幾何学的安定性条件である。K-安定性の概念は、 Gang Tian ^{[1]によって最初に導入され、後に}Simon Donaldson ^[2]によってより代数的に再定式化され、その定義は幾何不変理論(GIT) の安定性との比較によってヒントを得た。ファノ多様体の特殊なケースでは、K-安定性はケーラー・アインシュタイン計量の存在を正確に特徴付ける。より一般的には、任意のコンパクト複素多様体上で、K-安定性は定スカラー曲率ケーラー計量( cscK 計量)の存在と同等であると推測される。

1954 年、エウジェニオ・カラビは、コンパクト・ケーラー多様体上のケーラー計量の存在についての予想を定式化し、現在ではカラビ予想として知られています。^[3]この予想の 1 つの定式化は、コンパクト・ケーラー多様体がのクラスで唯一のケーラー・アインシュタイン計量を許容するというものです。 の特定のケースでは、そのようなケーラー・アインシュタイン計量はリッチ平坦となり、多様体はカラビ・ヤウ多様体になります。カラビ予想は、 の場合にはティエリー・オーバンとシン・トン・ヤウによって解決され、 の場合にはヤウ によって解決されました。^{[4] [5] [6]}の場合には、つまり がファノ多様体の場合には、ケーラー・アインシュタイン計量は必ずしも存在しないすなわち、松島洋三とアンドレ・リヒネロヴィッチの研究により、ケーラー多様体は、リー代数が簡約的である場合にだけケーラー・アインシュタイン計量を許容できることがわかっていた。^{[7] [8]しかし、}複素射影平面のある点における爆発はファノであるが、簡約リー代数を持たないことは簡単に示すことができる。したがって、すべてのファノ多様体がケーラー・アインシュタイン計量を許容できるわけではない。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle c_{1}(X)}$${\displaystyle c_{1}(X)=0}$${\displaystyle c_{1}(X)<0}$${\displaystyle c_{1}(X)=0}$${\displaystyle c_{1}(X)>0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c_{1}(X)>0}$ ${\displaystyle H^{0}(X,TX)}$${\displaystyle {\text{Bl}}_{p}\mathbb {CP} ^{2}}$

カラビ予想が解決された後、関心は、複素多様体上のベクトル束の標準計量を求めるという緩く関連した問題に移った。1983年、ドナルドソンはナラシムハン・セシャドリ定理の新しい証明を発表した。^[9]ドナルドソンによって証明されたように、定理は、コンパクトなリーマン面上の正則ベクトル束が安定であるためには、それが既約なユニタリヤン・ミルズ接続に対応する必要があることを述べている。つまり、ヤン・ミルズ汎関数の 臨界点であるユニタリ接続である。${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0}$

${\displaystyle \operatorname {YM} (\nabla )=\int _{X}\|F_{\nabla }\|^{2}\,d\operatorname {vol} .}$

リーマン面上では、このような接続は射影平坦であり、そのホロノミーはリーマン面の基本群の射影ユニタリ表現を生じ、 MS NarasimhanとCS Seshadriによる定理の元の記述を回復する。^{[10] 1980 年代に、この定理は Donaldson、} Karen Uhlenbeckと Yau、Jun Liと Yauの研究を通じて、小林–ヒッチン対応に一般化され、これは、任意のコンパクト複素多様体上の安定な正則ベクトル束をエルミート–アインシュタイン接続に関連付ける。^{[11] [12] [13]正則ベクトル束の設定に関する重要な観察は、いったん正則構造が固定されると、エルミート計量の任意の選択によってユニタリ接続、すなわち}チャーン接続が生じるということである。したがって、エルミート–アインシュタイン接続、またはそれに対応するエルミート–アインシュタイン計量のいずれかを検索することができる。

ベクトル束上の正準計量の存在問題の解決に触発されて、1993年にヤウは、ファノ多様体上のケーラー・アインシュタイン計量の存在は、多様体自体の何らかの代数幾何学的安定性条件と同等であるはずだと予想した。これは、正則ベクトル束上のエルミート・アインシュタイン計量の存在がその安定性と同等であるのと同じである。ヤウは、この安定性条件はベクトル束の傾き安定性の類似物であるはずだと示唆した。^[14]

1997 年、ティアンはそのような安定性条件を提案し、馬渕俊樹が導入したK エネルギー関数にちなんでK 安定性と名付けました。^{[1] [15]} Kはもともと、K エネルギー関数が運動エネルギーと類似していることからkineticを表し、また標準バンドルのドイツ語のkanonisch を表していました。ティアンの定義は本質的に解析的であり、ファノ多様体の場合に特有のものでした。数年後、ドナルドソンはこの記事で説明されているK 安定性と呼ばれる代数条件を導入しました。これは任意の分極多様体で意味をなすもので、がファノである分極多様体の場合のティアンの解析的定義と同等です。^[2] ${\displaystyle (X,-K_{X})}$${\displaystyle X}$

このセクションでは複素数 について扱いますが、定義の本質的な点は任意の体に適用できます。偏極多様体とは、 が複素代数多様体でありが上の豊富な直線束であるペアです。このような偏極多様体には、 Proj 構成を使用した射影空間への埋め込みが備わっています。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\cong \operatorname {Proj} \bigoplus _{r\geq 0}H^{0}\left(X,L^{kr}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} \left(H^{0}\left(X,L^{k}\right)^{*}\right)}$

ここで、 は十分に大きい任意の正の整数であり、非常に豊富であるため、すべての分極多様体は射影的です。上の豊富直線束の選択を変更すると、 のおそらく異なる射影空間への新しい埋め込みが生じます。 したがって、分極多様体は、ある射影空間への固定された埋め込みを伴う射影多様体として考えることができます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle L^{k}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{N}}$

K-安定性は、有限次元幾何学的不変量理論のヒルベルト-マンフォード基準との類推によって定義されます。この理論は、分極多様体上の点の安定性を記述しますが、K-安定性は、分極多様体自体の安定性に関係します。

ヒルベルト・マンフォードの基準は、簡約代数群の作用下での射影代数多様体の点の安定性をテストするには、 の1パラメータ部分群（ 1-PS）を考慮すれば十分であることを示しています。次に、 の1-PS 、たとえば を取り、極限点を見てみましょう。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{N}}$ ${\displaystyle G\subset \operatorname {GL} (N+1,\mathbb {C} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \lambda :\mathbb {C} ^{*}\hookrightarrow G}$

${\displaystyle x_{0}=\lim _{t\to 0}\lambda (t)\cdot x.}$

これは 1-PS の作用の不動点であり、したがってアフィン空間上の直線はの作用によって保存されます。1次元ベクトル空間上の乗法群の作用には重み（ とラベル付けした整数）が付いており、次の性質を 持ちます。${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N+1}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \mu (x,\lambda )}$

${\displaystyle \lambda (t)\cdot {\tilde {x}}=t^{\mu (x,\lambda )}{\tilde {x}}}$

上のファイバー上の任意の に対して が成り立ちます。ヒルベルト・マンフォードの基準によれば、 ${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle x_{0}}$

• すべての 1-PS に対して、点は半安定です。${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu (x,\lambda )\leq 0}$${\displaystyle \lambda <G}$
• すべての 1-PS に対して、点は安定です。${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu (x,\lambda )<0}$${\displaystyle \lambda <G}$
• 任意の 1-PS の場合、この点は不安定です。${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu (x,\lambda )>0}$${\displaystyle \lambda <G}$

したがって、多様体の安定性の概念を定義したい場合、ヒルベルト-マンフォード基準によれば、多様体の 1 つのパラメータ変形を考慮するだけで十分です。これは、テスト構成の概念につながります。

偏極多様体のテスト構成は、が平坦射を持つスキームであり、が射 に対する比較的豊富な直線束であるペアであり、次のようになります。 ${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle \pi :{\mathcal {X}}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \pi }$

1. 任意の に対して、ファイバーのヒルベルト多項式はのヒルベルト多項式に等しくなります。これは の平坦性の結果です。${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle \pi }$
2. に対するの標準アクションをカバーする、のファミリーに対するのアクションがあります。${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$
3. 任意の（したがってあらゆる） に対して、は分極多様体として表されます。特に から離れると、族は自明です。ここで は最初の因子への射影です。${\displaystyle t\in \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})\cong (X,L)}$${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t\neq 0},{\mathcal {L}}_{t\neq 0})\cong (X\times \mathbb {C} ^{*},\operatorname {pr} _{1}^{*}L)}$${\displaystyle \operatorname {pr} _{1}:X\times \mathbb {C} ^{*}\to X}$

の場合にはテスト構成は積構成と呼ばれ、の作用が最初の因子に対して自明な 場合には自明構成と呼ばれます。${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle {\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C} }$

ヒルベルト・マンフォードの基準に類似した安定性の概念を定義するには、分極多様体 に対するテスト配置上のファイバーの重みの概念が必要です。定義により、この族は基底への作用を覆う作用を備えているため、 上のテスト配置のファイバーは固定されています。つまり、中心ファイバー に対するの作用があります。一般に、この中心ファイバーは滑らかではなく、多様体でさえありません。中心ファイバーの重みを定義する方法はいくつかあります。最初の定義は、一般化二木不変量の Ding-Tian バージョンを使用して与えられました。^[1]この定義は微分幾何学的であり、ケーラー幾何学の存在問題に直接関係しています。代数定義は、ドナルドソン二木不変量と交差公式によって定義される CM 重みを使用して与えられました。 ${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\to \mathbb {C} }$${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0})}$

定義により、偏極スキームへの の作用は、豊富な直線束へのの作用を伴うため、すべての整数 に対してベクトル空間への作用を誘導します。複素ベクトル空間へのの作用は、重み空間への直和分解を誘導します。ここで、各 はの 1 次元部分空間であり、に制限されたときのの作用は重み を持ちます。作用の合計重みを整数 と定義します。これは、 の1 次元ベクトル空間へのの誘導作用の重みと同じです。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$${\displaystyle H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$${\displaystyle k\geq 0}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{n}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle w=w_{1}+\cdots +w_{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\textstyle \bigwedge ^{n}V}$${\displaystyle n=\dim V}$

テスト構成の重み関数を関数 と定義します。ここで は、各非負整数 に対するベクトル空間への作用の総重みです。関数は一般に多項式ではありませんが、である固定整数 に対してすべて の次数 の多項式になります。これは、同変リーマン・ロッホの定理を使用して確認できます。ヒルベルト多項式は、固定整数 に対してすべて の等式を満たし、 は次数 の多項式であることを思い出してください。このような に対して、次のように書きます。 ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle w(k)}$${\displaystyle w(k)}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$${\displaystyle k\geq 0}$${\displaystyle w(k)}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle k>k_{0}\gg 0}$${\displaystyle k_{0}}$${\displaystyle n=\dim X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=\dim H^{0}(X,L^{k})=\dim H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$${\displaystyle k>k_{1}\gg 0}$${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k\gg 0}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2}),\quad w(k)=b_{0}k^{n+1}+b_{1}k^{n}+O(k^{n-1}).}$

テスト構成のドナルドソン・フタキ不変量は有理数である ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {b_{0}a_{1}-b_{1}a_{0}}{a_{0}^{2}}}.}$

特に、展開における第1次の項は どこにあるか${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=-f_{1}}$${\displaystyle f_{1}}$

${\displaystyle {\frac {w(k)}{k{\mathcal {P}}(k)}}=f_{0}+f_{1}k^{-1}+O(k^{-2}).}$

を正のべき乗 に置き換えてもドナルドソン-フタキ不変量は変化しないため、文献では K 安定性は- 線束 を使用して議論されることが多いです。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{r}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ドナルドソン・フタキ不変量を交差理論で記述することが可能であり、これはティアンがCM重みを定義する際に採用したアプローチである。^[1]任意のテスト構成は（例えば^{[16] [17]}を参照）上で自然なコンパクト化を許容し、CM重みは次のように定義される。 ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle ({\bar {\mathcal {X}}},{\bar {\mathcal {L}}})}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle CM({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2(n+1)\cdot L^{n}}}\left(\mu \cdot n{({\bar {\mathcal {L}}})}^{n+1}+(n+1){K}_{{\bar {\mathcal {X}}}/{\mathbb {P} }^{1}}\cdot {({\bar {\mathcal {L}}})}^{n}\right)}$

ここで、交差公式によるこの定義は、現在では代数幾何学でよく使われています。 ${\displaystyle \mu =-{\frac {L^{n-1}\cdot K_{X}}{L^{n}}}}$

は と一致することがわかっているので、重みは または とすることができます。重みはChow 形式と超判別式で表現することもできます。^{[18]ファノ多様体の場合、重みは Chi Li [19]と Kento Fujita [20]}によって発見された新しい -不変量 で表すことができます。${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle \operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle \operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle \beta }$

K安定性を定義するには、まず特定のテスト構成を除外する必要があります。当初は、ドナルドソン-フタキ不変量が常にゼロになる、上で定義したような単純なテスト構成は無視すればよいと想定されていましたが、LiとXuは定義にもっと注意が必要であると指摘しました。^{[21] [22]} K安定性を定義するエレガントな方法の1つは、テスト構成のノルムを使用してSzékelyhidiによって示されており、これを最初に説明します。 ^[23]

テスト構成 の場合、ノルムを次のように定義します。 をベクトル空間 への作用の無限小生成子とします。すると になります。多項式 およびと同様に、関数 は十分大きな整数、この場合は次数の多項式です。その展開を次のように書きます。 ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle A_{k}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle H^{0}(X,L^{k})}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k})=w(k)}$${\displaystyle w(k)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k}^{2})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n+2}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k}^{2})=c_{0}k^{n+2}+O(k^{n+1}).}$

テスト構成のノルムは、次の式で定義され ます。

${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|^{2}=c_{0}-{\frac {b_{0}^{2}}{a_{0}}}.}$

ヒルベルト-マンフォード基準との類推によれば、変形（テスト構成）と中心繊維の重み（ドナルドソン-フタキ不変量）の概念が得られれば、K安定性と呼ばれる安定条件を定義できます。

を極性代数多様体とします。 は次のように言えます。 ${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle (X,L)}$

• すべてのテスト構成に対してK半安定である。${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle (X,L)}$
• のすべてのテスト構成で の場合、また の場合はさらにK 安定です。${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})>0}$${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|>0}$
• が K 半安定である場合、K 多安定であり、さらに である場合、テスト構成は積構成です。${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=0}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$
• K半安定でない場合は K 不安定です。

K-安定性は、もともとファノ多様体上のケーラー・アインシュタイン計量の存在を特徴付ける代数幾何学的条件として導入されました。これは、ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想（ファノ多様体の場合）として知られるようになりました。この予想は、2010年代にXiuxiong Chen、Simon Donaldson、およびSong Sunの研究で解決されました。^{[24] [25] [26] [27] [28] [29]}この戦略は、固定された反正準因子に沿った円錐特異点を持つケーラー・アインシュタイン計量の円錐角に関する連続性法と、リッチ境界を持つケーラー多様体のグロモフ・ハウスドルフ極限の Cheeger-Colding-Tian 理論の詳細な使用に基づいています。

定理（ケーラー・アインシュタイン計量に対するヤウ・ティアン・ドナルドソン予想）：ファノ多様体は、ペアが K 多安定である場合に限り、クラスのケーラー・アインシュタイン計量を許容します。${\displaystyle X}$${\displaystyle c_{1}(X)}$${\displaystyle (X,-K_{X})}$

チェン、ドナルドソン、サンは、ティアンが証明の同等の優先権を主張しているのは誤りであり、学術上の不正行為で彼を告発している。^[a]ティアンは彼らの主張に異議を唱えている。^[b]チェン、ドナルドソン、サンは、アメリカ数学会の権威ある2019年ヴェブレン賞で、予想を解決したとして認められた。^[30]ブレークスルー賞は、ドナルドソンに数学のブレークスルー賞、サンにニューホライズンズ・ブレークスルー賞を授与したが、これはチェンとの予想に関する研究に基づいている。^{[31] [32]}

さらに最近では、ヴェド・ダタールとガボール・セーケイヒディが「古典的な」連続法に基づく証明を提供し、^{[33] [34]}続いてチェン、サン、ビン・ワンがケーラー・リッチフローを用いて証明しました。^[35]ロバート・バーマン、セバスチャン・ブックソム、マティアス・ジョンソンも変分アプローチによる証明を提供しました。^[36]

ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想は、より一般的には任意の滑らかな分極多様体上の cscK 計量に適用されることが期待される。実際、ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想は、このより一般的な設定を参照しており、ファノ多様体の場合は特別なケースであり、これは以前にヤウとティアンによって予想されていた。ドナルドソンは、任意の分極多様体に対する K 安定性の定義が導入された後、ファノの場合からヤウとティアンの予想を構築した。^[2]

定数スカラー曲率計量に対する Yau–Tian–Donaldson 予想: 滑らかな分極多様体は、ペアが K 多安定である場合に限り、のクラスの定数スカラー曲率ケーラー計量を許容します。${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle c_{1}(L)}$${\displaystyle (X,L)}$

議論したように、ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想はファノの設定で解決されている。2009年にドナルドソンは、ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想が複素次元2のトーリック多様体に対して成り立つことを証明した。 ^{[37] [38] [39]}任意の分極多様体に対して、アレッツォとパカードの研究も利用して、ストッパはcscK計量の存在がK-多安定性を意味することを証明した。^{[40] [41]}これは、難しい偏微分方程式の解の存在を仮定し、比較的簡単な代数的結果に到達するため、ある意味では予想の簡単な方向である。重要な課題は、逆方向、つまり純粋に代数的な条件が偏微分方程式の解の存在を意味することを証明することである。

ピエール・ドリーニュとデイヴィッド・マムフォードのオリジナルの研究以来、滑らかな代数曲線は幾何不変量理論の意味で漸近安定であり、特にK安定であることが知られている。^[42]この設定では、ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想は均一化定理と同等である。つまり、すべての滑らかな曲線は、射影直線の場合、楕円曲線の場合、または種数 のコンパクトリーマン面の場合のいずれかで、定スカラー曲率のケーラー・アインシュタイン計量を許容する。 ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle g>1}$

が十分であり、がファノ多様体 である設定は特に重要であり、その設定ではファノ多様体のK安定性を検証する多くのツールが知られている。例えば、純粋に代数的な手法を使用して、すべてのフェルマー超曲面が${\displaystyle L=-K_{X}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle F_{n,d}=\{z\in \mathbb {CP} ^{n+1}\mid z_{0}^{d}+\cdots z_{n+1}^{d}=0\}\subset \mathbb {CP} ^{n+1}}$

はK安定なファノ多様体である。^{[43] [44] [45]}${\displaystyle 3\leq d\leq n+1}$

K-安定性はもともとドナルドソンによってトーリック多様体の文脈で導入されました。^[2]トーリック設定では、K-安定性の複雑な定義の多くは、分極トーリック多様体 のモーメント多面体 のデータによって与えられるように簡略化されます。まず、K-安定性をテストするには、トーリックテスト構成 を考えるだけで十分であることがわかっています。ここで、テスト構成の全空間もトーリック多様体です。このようなトーリックテスト構成は、モーメント多面体 上の凸関数によって簡潔に記述でき、ドナルドソンはもともとこのような凸関数に対して K-安定性を定義しました。 のトーリックテスト構成が上の凸関数によって与えられる場合、ドナルドソン-フタキ不変量は次のように記述できます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle (X_{P},L_{P})}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$${\displaystyle (X_{P},L_{P})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}(f)={\frac {1}{2}}\left(\int _{\partial P}f\,d\sigma -a\int _{P}f\,d\mu \right),}$

ここで、は上のルベーグ測度、は の境界上の標準測度で、モーメント多面体としての記述から生じる（ の辺が 上の整数係数を持つアフィン線形関数 h に対する線形不等式で与えられる場合、 ）、 である。さらに、テスト構成のノルムは次のように与えられる。 ${\displaystyle d\mu }$${\displaystyle P}$${\displaystyle d\sigma }$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle h(x)\leq a}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle d\mu =\pm dh\wedge d\sigma }$${\displaystyle a=\operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )/\operatorname {Vol} (P,d\mu )}$

${\displaystyle \left\|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\right\|=\left\|f-{\bar {f}}\right\|_{L^{2}},}$

ここで、 はに関するの平均です。 ${\displaystyle {\bar {f}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle P}$${\displaystyle d\mu }$

ドナルドソンは、トーリック面の場合、特に単純な形式の凸関数をテストすれば十分であることを示した。 上の凸関数が区分線形であるとは、それが何らかのアフィン線形関数 に対して最大値として書ける場合を言う。定数 の定義により、ドナルドソン-フタキ不変量はアフィン線形関数の付加に対して不変であるため、常に の 1 つを定数関数 とすることができることに注目してください。凸関数が2 つの関数の最大値である場合、つまり何らかのアフィン線形関数に対して によって与えられる場合、その凸関数は単純区分線形であると言い、が有理係数を持つ場合、単純有理区分線形であると言います。ドナルドソンは、トーリック面の場合、単純有理区分線形関数に対してのみ K 安定性をテストすれば十分であることを示した。このような結果は、そのような単純なテスト構成のドナルドソン-フタキ不変量を容易に計算し、したがって、与えられたトーリック面が K 安定であるかどうかを計算によって決定できる限りにおいて強力です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle f=\max(h_{1},\dots ,h_{n})}$${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)}$${\displaystyle h_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f=\max(0,h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$

K 不安定多様体の例としては、トーリック面、第 1ヒルツェブルッフ面が挙げられます。これは、によって与えられる分極に関する、ある点における複素射影平面の引き伸ばしです。ここで、は引き伸ばしであり、例外的因子です。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}=\operatorname {Bl} _{0}\mathbb {CP} ^{2}}$${\textstyle L={\frac {1}{2}}(\pi ^{*}{\mathcal {O}}(2)-E)}$${\displaystyle \pi :\mathbb {F} _{1}\to \mathbb {CP} ^{2}}$${\displaystyle E}$

多面体の水平境界面と垂直境界面の測度は、ちょうどとです。対角面の測度は で与えられます。この多面体上の 凸関数を考えてみましょう。すると${\displaystyle d\sigma }$${\displaystyle dx}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle x+y=2}$${\displaystyle (dx-dy)/2}$${\displaystyle f(x,y)=x+y}$

${\displaystyle \int _{P}f\,d\mu ={\frac {11}{6}},\qquad \int _{\partial P}f\,d\sigma =6,}$

そして

${\displaystyle \operatorname {Vol} (P,d\mu )={\frac {3}{2}},\qquad \operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )=5,}$

したがって

${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)=6-{\frac {55}{9}}=-{\frac {1}{9}}<0,}$

したがって、最初のヒルツェブルッフ面はK 不安定です。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$

K 安定性は、有限次元の幾何学的不変理論に対するヒルベルト-マンフォード基準との類似性から生じます。幾何学的不変理論を直接使用して、K 安定性と密接に関連する多様体の安定性の他の概念を得ることができます。

ヒルベルト多項式 を持つ偏極多様体 をとり、高次コホモロジーがゼロである非常に十分なを固定します。このペアは、ヒルベルト多項式 を持つのサブスキームのヒルベルトスキーム内の点と同一視できます。 ${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle L^{r}}$${\displaystyle (X,L^{r})}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{{\mathcal {P}}(r)-1}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}'(K)={\mathcal {P}}(Kr)}$

このヒルベルト方式は、グラスマン多様体（プルッカー埋め込みを介して射影的である）のサブスキームとして射影空間に埋め込むことができます。一般線型群はこのヒルベルト方式に作用し、ヒルベルト方式の2点は、対応する分極多様体が同型である場合に限り同値です。したがって、この群作用に幾何学的不変理論を使用して安定性の概念を与えることができます。この構成は の選択に依存するため、十分に大きいすべての に対して、ある固定された に対して、分極多様体がこの埋め込みに関して安定している場合、その分極多様体は漸近的にヒルベルト安定であると言えます。 ${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathcal {P}}(r),\mathbb {C} )}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle r>r_{0}\gg 0}$${\displaystyle r_{0}}$

ヒルベルト法の別の射影埋め込みとしてチョウ埋め込みがあり、これはヒルベルト法の異なる線形化を提供し、したがって異なる安定性条件を提供する。したがって、同様に漸近的なチョウ安定性を定義することができる。固定された に対するチョウの重みは次のように明示的に計算できる。 ${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle \operatorname {Chow} _{r}({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {rb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(r)}{{\mathcal {P}}(r)}}}$

十分に大きい場合である。 ^[46]ドナルドソン・フタキ不変量とは異なり、Chowの重みは線束を何らかのべき乗に置き換えると変化する。しかし、式 ${\displaystyle r}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{k}}$

${\displaystyle \operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}})={\frac {krb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(kr)}{{\mathcal {P}}(kr)}}}$

人はそれを観察する

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=\lim _{k\to \infty }\operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}}),}$

したがって、K 安定性は、射影空間の次元が無限大に近づくにつれて、ある意味では Chow 安定性の限界になります。 ${\displaystyle X}$

同様に漸近的チョウ半安定性と漸近的ヒルベルト半安定性を定義することができ、安定性のさまざまな概念は次のように関連しています。

漸近的に Chow 安定漸近的に Hilbert 安定漸近的に Hilbert 半安定漸近的に Chow 半安定K 半安定 ${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$

しかし、K安定性が漸近的Chow安定性を意味するかどうかは分かっていない。^[47]

多様体の安定性の正しい概念はベクトル束の傾きの安定性に類似しているはずだと、もともとヤウは予測していた。ジュリアス・ロスとリチャード・トーマスは、傾きK安定性として知られる多様体の傾きの安定性の理論を開発した。ロスとトーマスは、あらゆるテスト構成は本質的に、中心ファイバーで支えられた不変イデアルの列に沿って多様体を爆発させることによって得られることを示した。 ^[47]この結果は、本質的にデイヴィッド・マンフォードによるものである。^[48]明示的に、あらゆるテスト構成は、次の形式のイデアルに沿った の爆発によって支配されている。${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$

${\displaystyle I=I_{0}+tI_{1}+t^{2}I_{2}+\cdots +t^{r-1}I_{r-1}+(t^{r})\subset {\mathcal {O}}_{X}\otimes \mathbb {C} [t],}$

ここで は上の座標である。イデアルのサポートを取ることで、これは部分スキームの 旗に沿って爆発することに対応する。${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle Z_{r-1}\subset \cdots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}\subset X}$

のコピーの内側。この分解は本質的には、作用の下での不変イデアルの重み空間分解を取ることによって得られます。 ${\displaystyle X\times \{0\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

この部分スキームのフラグの長さが1である特別なケースでは、ドナルドソン-フタキ不変量は簡単に計算でき、傾きK安定性に到達します。理想層によって定義された部分スキームが与えられた場合、テスト構成は次のように与えられます。 ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle I_{Z}}$

${\displaystyle {\mathcal {X}}=\operatorname {Bl} _{Z\times \{0\}}(X\times \mathbb {C} ),}$

これは埋め込みの法線円錐への変形です。 ${\displaystyle Z\hookrightarrow X}$

多様体がヒルベルト多項式を持つ場合、の傾きを次のように 定義する。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2})}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu (X)={\frac {a_{1}}{a_{0}}}.}$

部分スキームの傾きを定義するために、部分スキームのヒルベルト・サミュエル多項式を考える。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \chi (L^{r}\otimes I_{Z}^{xr})=a_{0}(x)r^{n}+a_{1}(x)r^{n-1}+O(r^{n-2}),}$

およびとなる有理数に対してである。係数は次数 の多項式であり、に対するのK勾配は次のように定義される。 ${\displaystyle r\gg 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle xr\in \mathbb {N} }$${\displaystyle a_{i}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n-i}$${\displaystyle I_{Z}}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle \mu _{c}(I_{Z})={\frac {\int _{0}^{c}{\big (}a_{1}(x)+{\frac {a_{0}'(x)}{2}}{\big )}\,dx}{\int _{0}^{c}a_{0}(x)\,dx}}.}$

この定義は、が のSeshadri定数である任意の実数を選択した場合に意味をなします。 を取るとの傾きが回復することに注目してください。すべての適切なサブスキーム に対して、すべて に対して、このペアは傾き K 半安定です (この不等式が厳密であることを要求し、いくつかの追加の技術的条件を適用することで、傾き K 安定性と傾き K 多安定性を定義することもできます)。 ${\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$${\displaystyle \epsilon (Z)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z=\emptyset }$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,L)}$${\displaystyle Z\subset X}$${\displaystyle \mu _{c}(I_{Z})\leq \mu (X)}$${\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$

ロスとトーマスは、K 半安定性は傾き K 半安定性を意味することを示した。^[49]しかし、ベクトル束の場合とは異なり、傾き K 安定性は K 安定性を意味するわけではない。ベクトル束の場合は、単一の部分層だけを考慮すれば十分であるが、多様体の場合は、長さが 1 より大きい旗も考慮する必要がある。それにもかかわらず、傾き K 安定性は依然として K 不安定多様体を識別するために使用でき、したがって、Stoppa の結果により、cscK 計量の存在に障害を与える。たとえば、ロスとトーマスは、傾き K 安定性を使用して、 K 安定基底上の不安定ベクトル束の射影化はK 不安定であり、したがって cscK 計量を許容しないことを示す。これは、cscK 計量を許容する基底上の安定バンドルの射影化も cscK 計量を許容し、したがって K 安定であることを示すホンの結果とは逆である。^[50]

アポストロフ・カルダーバンク・ゴードゥション・トンネセン・フリードマンの研究は、いかなる極限計量も許容しないが、いかなるテスト配置によっても不安定化しないように見える多様体の存在を示している。^[51]これは、ここで与えられたK安定性の定義は、一般にヤウ・ティアン・ドナルドソン予想を示唆するほど正確ではない可能性があることを示唆している。しかし、この例はテスト配置の限界によって不安定化される。これは、フィルタリングK安定性を導入したセーケイヒディによって明確にされた。[ 46 ] [ ^{23 ]}ここでのフィルタリングは、座標環のフィルタリングである。

${\displaystyle R=\bigoplus _{k\geq 0}H^{0}(X,L^{k})}$

偏極多様体の。考慮される濾過は、次の意味で座標環上の等級付けと互換性がなければならない。の濾過は、有限次元部分空間の連鎖である。 ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \chi }$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \mathbb {C} =F_{0}R\subset F_{1}R\subset F_{2}R\subset \dots \subset R}$

以下の条件が満たされる:

1. 濾過は乗法的です。つまり、すべての に対して です。${\displaystyle (F_{i}R)(F_{j}R)\subset F_{i+j}R}$${\displaystyle i,j\geq 0}$
2. 濾過は、等級分けされた破片 からの の等級分けと互換性があります。つまり、 の場合、 の各均質な破片はに含まれます。${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{k}=H^{0}(X,L^{k})}$${\displaystyle f\in F_{i}R}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F_{i}R}$
3. 濾過により が排出されます。つまり、 が得られます。${\displaystyle R}$${\displaystyle \bigcup _{i\geq 0}F_{i}R=R}$

濾過が与えられたとき、そのリース代数は次のように定義される。 ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \operatorname {Rees} (\chi )=\bigoplus _{i\geq 0}(F_{i}R)t^{i}\subset R[t].}$

濾過は有限生成であるとは、そのリース代数が有限生成であるときを言う。濾過が有限生成であるのは、それがテスト構成から生じる場合のみであることはデイヴィッド・ウィット・ニストロムによって証明され、また、任意の濾過は有限生成濾過の極限であることがセケリヒディによって証明された。^[52]これらの結果を組み合わせて、セケリヒディは、K-安定性が濾過K-安定性に置き換えられた場合、アポストロフ-カルダーバンク-ガウドゥション-トンネセン-フリードマンの例はヤウ-ティアン-ドナルドソン予想に違反しないことを観察した。これは、K-安定性の定義は、これらの制限的な例を説明するために編集する必要があるかもしれないことを示唆している。

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