バーグマン計量

微分幾何学において、ベルクマン計量は、特定の種類の複素多様体上で定義できるエルミート計量です。ベルクマン計量は、ベルクマン核から派生したもので、どちらもステファン・ベルクマンにちなんで名付けられています。

を領域とし、をG上 のベルグマン核とする。接束上のエルミート計量を次のように 定義する。${\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle K(z,w)}$ ${\displaystyle T_{z}{\mathbb {C} }^{n}}$

${\displaystyle g_{ij}(z):={\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z}}_{j}}}\log K (z,z),}$

となる。すると、接線ベクトルの長さは次のように与えられる。 ${\displaystyle z\in G}$${\displaystyle \xi \in T_{z}{\mathbb {C} }^{n}}$

${\displaystyle \left\vert \xi \right\vert _{B,z}:={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(z)\xi _{ i}{\bar {\xi }}_{j}}}.}$

この計量はG上のベルグマン計量と呼ばれます。

（区分的） C ¹曲線 の長さは次のように計算される。 ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to {\mathbb {C} }^{n}}$

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int _{0}^{1}\left\vert {\frac {\partial \gamma }{\partial t}}(t)\right\vert _{B,\gamma (t)}dt.}$

2点間の距離は次のように定義されます。 ${\displaystyle d_{G}(p,q)}$${\displaystyle p,q\in G}$

${\displaystyle d_{G}(p,q):=\inf\{\ell (\gamma )\mid {\text{ すべての区分的 }}C^{1}{\text{ 曲線 }}\gamma {\text{ で、}}\gamma (0)=p{\text{ かつ }}\gamma (1)=q\} である。}$

距離d _{G は}ベルグマン距離と呼ばれます。

Gが有界領域である場合、バーグマン計量は各点で実際に正定値行列です。さらに重要なことは、距離d _{G は}、 Gから別の領域への双正則写像に対して不変であるという ことです。つまり、 f がG の双正則写像であり、である場合、 です。 ${\displaystyle G'}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle d_{G}(p,q)=d_{G'}(f(p),f(q))}$

• スティーブン・G・クランツ著『多変数複素関数理論』 AMS チェルシー出版、ロードアイランド州プロビデンス、1992 年。

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