非可換ホッジ対応

代数幾何学と微分幾何学において、非可換ホッジ対応またはコーレット・シンプソン対応（ケビン・コーレットとカルロス・シンプソンにちなんで命名）は、ヒッグス束と、滑らかな射影的な複素代数多様体、またはコンパクトなケーラー多様体の基本群の表現との間の対応である。

この定理は、安定ベクトル束とコンパクトリーマン面の基本群のユニタリ表現との間の対応を定義するナラシムハン-セシャドリ定理の広範な一般化と考えることができる。実際、ナラシムハン-セシャドリ定理は、ヒッグス場をゼロに設定することにより、非可換ホッジ対応の特殊なケースとして得られる。

1965 年にMS NarasimhanとCS Seshadriによって、コンパクト リーマン面上の安定ベクトル束が基本群の既約射影ユニタリ表現に対応することが証明されました。^{[1]この定理は 1983 年の}Simon Donaldsonの研究で新しい観点から表現され、安定ベクトル束はヤン–ミルズ接続に対応し、そのホロノミーによってNarasimhan と Seshadri の基本群の表現が得られることが示されました。^[2] Narasimhan–Seshadri の定理は、コンパクト リーマン面の場合からコンパクト ケーラー多様体の設定に、代数曲面の場合は Donaldson によって一般化され、一般にはKaren UhlenbeckとShing-Tung Yauによって一般化されました。^{[3] [4]}安定ベクトル束とエルミート ヤン–ミルズ接続間のこの対応は、小林–ヒッチン対応として知られています。

ナラシムハン・セシャドリ定理は、基本群のユニタリ表現に関するものである。ナイジェル・ヒッチンは、基本群の複素表現に対応するべき代数的対象としてヒッグス束の概念を導入した（実際、「ヒッグス束」という用語は、ヒッチンの研究の後にカルロス・シンプソンによって導入された）。非可換ホッジ定理の最初の例は、コンパクトなリーマン面上の階数 2 のヒッグス束のケースを考察したヒッチンによって証明された。^[5]ヒッチンは、多安定ヒッグス束がヒッチン方程式の解に対応することを示した。ヒッチン方程式は、ヤン・ミルズ方程式を 2 次元に次元縮小して得られる微分方程式のシステムである。この場合、ドナルドソンは、ヒッチン方程式の解が基本群の表現に対応することを示した。^[6]

ヒッチンとドナルドソンによるコンパクトなリーマン面上の2階ヒッグス束に関する結果は、カルロス・シンプソンとケビン・コーレットによって大いに一般化された。多安定ヒッグス束がヒッチンの方程式の解に対応するという主張はシンプソンによって証明された。^{[7] [8]}ヒッチンの方程式の解と基本群の表現との間の対応はコーレットによって示された。^[9]

このセクションでは、非可換ホッジ定理における興味深い対象を振り返る。^{[7] [8]}

コンパクト ケーラー多様体上のヒッグス束は、 が正則ベクトル束であり、 が上の- 値正則-形式であるペアであり、ヒッグス場と呼ばれます。さらに、ヒッグス場は を満たさなければなりません。 ${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle (E,\Phi )}$${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle \Phi :E\to E\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}}$${\displaystyle \operatorname {終了} (E)}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Phi \wedge \Phi =0}$

ヒッグス束が（半）安定であるとは、ヒッグス場によって保存される任意の適切な非ゼロのコヒーレント部分層 に対して、次が成り立つときである。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset E}$${\displaystyle \Phi ({\mathcal {F}})\subset {\mathcal {F}}\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}}$

$${\displaystyle {\frac {\deg({\mathcal {F}})}{\operatorname {rank} ({\mathcal {F}})}}<{\frac {\deg(E)}{\operatorname {rank} (E)}}\quad {\text{(resp. }}\leq {\text{)}}.}$$ この有理数は傾きと呼ばれ、 と表記されます。上記の定義は、安定なベクトル束の定義を反映しています。ヒッグス束は、同じ傾きの安定なヒッグス束の直和である場合に多安定であり、したがって半安定です。 ${\displaystyle \mu (E)}$

ヒッチンの方程式の高次元への一般化は、のペアから構成される特定の接続に対するエルミート・ヤン・ミルズ方程式の類似として表現できます。ヒッグス束上のエルミート計量は、チャーン接続と曲率を生じます。 が正則である条件は、 と表現できます。コンパクト・リーマン面上のヒッチンの方程式は、 定数 に対してが成り立つことを述べています。高次元では、これらの方程式は次のように一般化されます。により上の接続を定義します。この接続は、次の場合、エルミート・ヤン・ミルズ接続(計量はエルミート・ヤン・ミルズ計量) であると言われます 。これは、コンパクト・リーマン面に対するヒッチンの方程式に簡約されます。接続はユニタリではないため、通常の意味でのエルミート・ヤン・ミルズ接続ではなく、上記の条件は通常の HYM 条件の非ユニタリ類似物であることに注意してください。 ${\displaystyle (E,\Phi )}$ ${\displaystyle h}$${\displaystyle (E,\Phi )}$ ${\displaystyle \nabla _{A}}$${\displaystyle F_{A}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{A}\Phi =0}$$${\displaystyle {\begin{cases}&F_{A}+[\Phi ,\Phi ^{*}]=\lambda \operatorname {Id} _{E}\\&{\bar {\partial }}_{A}\Phi =0\end{cases}}}$$${\displaystyle \lambda =-2\pi i\mu (E)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle D=\nabla _{A}+\Phi +\Phi ^{*}}$$${\displaystyle \Lambda _{\omega }F_{D}=\lambda \operatorname {Id} _{E}.}$$${\displaystyle D}$

基本群の表現により、次のように平坦接続を持つベクトル束が得られます。の普遍被覆は、構造群 を持つ上の主束です。したがって、 によって与えられる への関連束があります。 このベクトル束には、自然に平坦接続が備わっています。が 上のエルミート計量である場合、演算子を次のように定義します。 をそれぞれタイプとの演算子に分解します。 を、 -接続が計量 を保存するようなタイプ の一意の演算子とします。 を定義し、 と設定します。の擬曲率をと定義します。 ${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}(X)\to \operatorname {GL} (r,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle {\hat {X}}}$$${\displaystyle E={\hat {X}}\times _{\rho }\mathbb {C} ^{r}.}$$${\displaystyle D}$${\displaystyle h}$${\displaystyle E}$${\displaystyle D_{h}''}$${\displaystyle D=\partial +{\bar {\partial }}}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle A'+{\bar {\partial }}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \Phi =(\partial -A')/2}$${\displaystyle D_{h}''={\bar {\partial }}+\Phi }$${\displaystyle h}$${\displaystyle G_{h}=(D_{h}'')^{2}}$

計量は、次の場合 調和的であると言われます。 条件は3 つの条件と同等であることに注目してください。したがって、 の場合、ペアは、ドルボー演算子によって与えられた上の正則構造を持つヒッグス束を定義します。 ${\displaystyle h}$$${\displaystyle \Lambda _{\omega }G_{h}=0.}$$${\displaystyle G_{h}=0}$${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0,{\bar {\partial }}\Phi =0,\Phi \wedge \Phi =0}$${\displaystyle G_{h}=0}$${\displaystyle (E,\Phi )}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

コーレットの結果によれば、が調和的であれば自動的に満たされ、ヒッグス束が生じる。^[9]${\displaystyle h}$${\displaystyle G_{h}=0}$

ヒッグス束、平坦接続、基本群の表現という 3 つの概念のそれぞれに対して、モジュライ空間を定義することができます。これには、これらのオブジェクト間の同型性の概念が必要です。以下では、滑らかな複素ベクトル束を固定します。すべてのヒッグス束は、基礎となる滑らかなベクトル束を持つものと見なされます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

• (ヒッグス束)複素ゲージ変換 群は、ヒッグス束の集合に対して、公式 によって作用します。 およびがそれぞれ半安定および安定ヒッグス束の部分集合を表す場合、これらの商が幾何学的不変理論の意味で取られるモジュライ空間 が得られるので、閉包が交差する軌道はモジュライ空間で同一視されます。これらのモジュライ空間は、ドルボー モジュライ空間と呼ばれます。 と設定することにより、半安定および安定正則ベクトル束およびのモジュライ空間が部分集合として得られることに注意してください。 また、多安定ヒッグス束のモジュライ空間を定義すると、この空間は半安定ヒッグス束の空間と同型になります。これは、半安定ヒッグス束のすべてのゲージ軌道がその閉包に多安定ヒッグス束の唯一の軌道を含むためです。${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle g\cdot (E,\Phi )=(g\cdot E,g\Phi g^{-1})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{ss}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}}$$${\displaystyle M_{Dol}^{ss}:={\mathcal {H}}^{ss}//{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},\qquad M_{Dol}^{s}:={\mathcal {H}}^{s}/{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}}}$$${\displaystyle \Phi =0}$${\displaystyle N_{Dol}^{ss}\subset M_{Dol}^{ss}}$${\displaystyle N_{Dol}^{s}\subset M_{Dol}^{s}}$${\displaystyle M_{Dol}^{ps}}$
• (平坦接続)群複素ゲージ変換は、滑らかなベクトル束 上の平坦接続の集合にも作用します。モジュライ空間を定義します。ここで、 は、滑らかなベクトル束 のいくつかの分割で直和として分割されない既約平坦接続からなる部分集合を表します。これらのモジュライ空間は、ド・ラーム・モジュライ空間と呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$$${\displaystyle M_{dR}:={\mathcal {A}}//{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},\qquad M_{dR}^{*}:={\mathcal {A}}^{*}/{\mathcal {G}}^{\mathcal {C}},}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \nabla =\nabla _{1}\oplus \nabla _{2}}$${\displaystyle E=E_{1}\oplus E_{2}}$${\displaystyle E}$
• (表現)の基本群の表現の集合は、表現の共役によって一般線型群によって作用される。半単純表現と既約表現からなる部分集合をそれぞれ上付き文字とで表す。次に、半単純表現と既約表現のモジュライ空間をそれぞれ定義する。これらの商は、2 つの軌道の閉包が交差する場合にそれらの軌道が同一視される幾何学的不変理論の意味でとられる。これらのモジュライ空間はベッティ モジュライ空間と呼ばれる。${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))}$${\displaystyle X}$${\displaystyle +}$${\displaystyle *}$$${\displaystyle M_{B}^{+}=\operatorname {Hom} ^{+}(\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))//G,\qquad M_{B}^{*}=\operatorname {Hom} ^{*}(\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))/G}$$

非可換ホッジ定理は2つの部分に分けられる。最初の部分は、コンパクトなリーマン面上の階数2のヒッグス束の場合にドナルドソンによって証明され、一般にはコーレットによって証明された。^{[6] [9]}一般に、非可換ホッジ定理は滑らかな複素射影多様体に対して成り立つが、対応の一部はより一般的にコンパクトなケーラー多様体に対しても成り立つ。 ${\displaystyle X}$

定理の2番目の部分は、コンパクトなリーマン面上の2階ヒッグス束の場合にヒッチンによって証明され、一般にはシンプソンによって証明された。^{[5] [7] [8]}

これらを組み合わせると、対応は次のように表現できます。

非可換ホッジ対応は、集合の全単射だけでなく、モジュライ空間の同相写像も与えます。実際、2 つのヒッグス束が同型 (ゲージ変換によって関連付けられるという意味で、ドルボー モジュライ空間の同じ点に対応する) である場合、関連付けられた表現も同型となり、ベッティ モジュライ空間の同じ点を与えます。モジュライ空間の観点から、非可換ホッジ定理は次のように表現できます。

一般に、これらのモジュライ空間は単なる位相空間ではなく、何らかの追加の構造を持ちます。たとえば、ドルボー モジュライ空間とベッティ モジュライ空間は自然に複素代数多様体であり、滑らかな場所では、ド ラーム モジュライ空間はリーマン多様体です。これらのモジュライ空間が滑らかな共通軌跡上では、写像は微分同相写像であり、滑らかな軌跡上の複素多様体であるため、両立するリーマン構造と複素構造が得られ、したがってケーラー多様体になります。 ${\displaystyle M_{Dol}^{ss},M_{B}^{+}}$${\displaystyle M_{dR}}$${\displaystyle M_{dR}\to M_{B}^{+}}$${\displaystyle M_{B}^{+}}$${\displaystyle M_{dR}}$

同様に、滑らかな軌跡上では、写像は微分同相写像です。しかし、ドルボー モジュライ空間とベッティ モジュライ空間はどちらも自然な複素構造を持ちますが、これらは同型ではありません。実際、これらを(関連する積分可能なほぼ複素構造に対して) と表記すると、 となります。特に、 によって 3 番目のほぼ複素構造を定義すると、となります。これら 3 つの複素構造を から来るリーマン計量と組み合わせると、滑らかな軌跡上で、モジュライ空間はハイパーケーラー多様体になります。 ${\displaystyle M_{B}^{+}\to M_{Dol}^{ss}}$${\displaystyle I,J}$${\displaystyle IJ=-JI}$${\displaystyle K=IJ}$${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-\operatorname {Id} }$${\displaystyle M_{dR}}$

ヒッグス場をゼロに設定すると、ヒッグス束は単なる正則ベクトル束になります。これにより、半安定正則ベクトル束のモジュライ空間がヒッグス束のモジュライ空間に含められます。ヒッチン-小林対応は、コンパクトなケーラー多様体上の正則ベクトル束とエルミートヤン-ミルズ接続との間の対応を与えるため、非可換ホッジ対応の特殊なケースと見なすことができます。 ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle N_{Dol}^{ss}\subset M_{Dol}^{ss}}$

基礎となるベクトル束が位相的に自明な場合、エルミート ヤン–ミルズ接続のホロノミーにより、基本群のユニタリ表現 が生じます。ユニタリ表現に対応するベッティ モジュライ空間の部分集合 は、半安定ベクトル束のモジュライ空間に同型にマッピングされます。 ${\displaystyle \rho :\pi _{1}(X)\to \operatorname {U} (r)}$${\displaystyle N_{B}^{+}}$${\displaystyle N_{Dol}^{ss}}$

基底ベクトル束の階数が 1 である特殊なケースでは、より単純な対応が生じる。^[10]まず、適切な非ゼロ部分層が存在しないため、すべての線束は安定である。この場合、線束の自己準同型性は自明であるため、ヒッグス束は正則線束と正則 -形式のペアで構成される。特に、ヒッグス場は正則線束から分離されているため、モジュライ空間は積として分割され、1 形式は自動的に条件 を満たす。線束のゲージ群は可換であるため、共役によってヒッグス場に自明に作用する。したがって、モジュライ空間は、同型性を除くすべての正則線束を分類するのヤコビ多様体と、正則 -形式のベクトル空間 の積として識別できる 。 ${\displaystyle (L,\Phi )}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle M_{Dol}}$${\displaystyle \Phi \wedge \Phi =0}$${\displaystyle \Phi }$$${\displaystyle M_{Dol}=\operatorname {Jac} (X)\times H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})}$${\displaystyle (1,0)}$

コンパクト リーマン面上の階数 1 のヒッグス束の場合、モジュライ空間のさらなる記述が得られます。コンパクト リーマン面の基本群である面群 は、 によって与えられ、 ここで はリーマン面の種数です。したがって、一般線型群への の表現は、非ゼロの複素数の -組 によって与えられます。 はアーベルな ので、この空間上の共役は自明であり、ベッティ モジュライ空間は です。一方、セール双対性により、正則 -形式の空間は層コホモロジーと双対です。ヤコビ多様体は商 によって与えられる アーベル多様体である ため、接空間はベクトル空間 によって与えられ、余接束 を 持ちます 。つまり、ドルボー モジュライ空間、つまり正則ヒッグス線束のモジュライ空間は、ヤコビアン、つまり正則線束のモジュライ空間への単に余接束です。したがって、非可換ホッジ対応は、 双正則同相ではない微分同相写像を与える。これら 2 つの空間上の自然な複素構造が異なり、関係 を満たすことが確認でき、ヤコビアンへの余接バンドル上にハイパーケーラー構造を与える。 $${\displaystyle \pi _{1}(X)=\langle a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}\mid [a_{1},b_{1}]\cdots [a_{g},b_{g}]=e\rangle }$$${\displaystyle g}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (1,\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle 2g}$$${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),\mathbb {C} ^{*})=(\mathbb {C} ^{*})^{2g}.}$$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle M_{B}=(\mathbb {C} ^{*})^{2g}}$${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$$${\displaystyle \operatorname {Jac} (X)={\frac {H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}{H^{1}(X,\mathbb {Z} )}},}$$${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$$${\displaystyle T^{*}\operatorname {Jac} (X)=\operatorname {Jac} (X)\times H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})^{*}=\operatorname {Jac} (X)\times H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})=M_{Dol}.}$$$${\displaystyle T^{*}\operatorname {Jac} (X)\cong (\mathbb {C} ^{*})^{2g}}$$${\displaystyle IJ=-JI}$

複素簡約代数群に対する主 -ヒッグス束の概念を定義することは可能であり、これは主束のカテゴリにおけるヒッグス束のバージョンである。安定主束の概念があり、安定主-ヒッグス束 を定義することができる。これらのオブジェクトに対して、非可換ホッジ定理のバージョンが成立し、主-ヒッグス束を基本群の への表現に関連付ける。^{[7] [8] [11]}${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

ヒッグス束と基本群の表現との間の対応は、一種の非可換 ホッジ定理として表現することができる。これは、ケーラー多様体のホッジ分解の類似であるが、係数は可換群ではなく非可換群にあるというものである。ここでの説明は、ウェルズの『複素多様体の微分解析』の付録におけるオスカー・ガルシア＝プラダの議論に従っている。^[12]${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

コンパクトなケーラー多様体のホッジ分解は、複雑なド・ラーム・コホモロジーをより細かいドルボー・コホモロジーに分解する。

$${\displaystyle H_{dR}^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=k}H_{Dol}^{p,q}(X).}$$

1次では直和となる

$${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {C} )=H^{0,1}(X)\oplus H^{1,0}(X)\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\oplus H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})}$$

ここで、ドルボーの定理を適用して、ドルボーのコホモロジーを、 上の正則-形式の層の層コホモロジーおよび正則関数の構造層の観点で表現しました。 ${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}^{1},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$

層コホモロジー を構築する場合、係数層は常にアーベル群の層になります。これは、アーベル群ではすべての部分群が正規であるため、 層コサイクルの層コ境界による商群は 常に明確に定義されるためです。層がアーベルでない場合は、これらの商は必ずしも明確に定義されず、そのため、次の特別な場合を除いて、層コホモロジー理論は存在しません。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$$${\displaystyle {\check {H}}^{k}(X,{\mathcal {F}})=Z^{k}(X,{\mathcal {F}})/B^{k}(X,{\mathcal {F}})}$$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• ${\displaystyle k=0}$: 0 番目の層コホモロジー群は常に層の大域切断の空間であるため、 が非可換であっても常に明確に定義されます。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle k=1}$: 第 1 層コホモロジー集合は非可換層に対して明確に定義されていますが、それ自体は商群ではありません。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle k=2}$: いくつかの特殊なケースでは、ゲルベの理論を使用して、非可換層に対して 2 次層コホモロジーの類似物を定義できます。

非アーベルコホモロジーの重要な例は、係数層が、つまり複素一般線型群への正則関数の層であるときに発生します。この場合、コホモロジー集合が 上の 階数の正則ベクトル束の集合と同型を除いて一対一に対応することは、チェフコホモロジーからよく知られている事実です。階数 の明確な正則ベクトル束、つまり自明ベクトル束が存在するため、これは実際にはコホモロジー尖端集合であることに注意してください。特殊なケースでは、一般線型群は乗法に関する非ゼロ複素数のアーベル群です。この場合、同型を除いて正則直線束の群、別名ピカール群が得られます。 ${\displaystyle {\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} )}$$${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

最初のコホモロジー群は、基本群からへの準同型群と同型である。これは、例えば、ヒューレヴィッツの定理を適用することで理解できる。したがって、上記の正則ホッジ分解は次のように表現できる。 ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),\mathbb {C} )\cong H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\oplus H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1}).}$$

非可換ホッジ対応は、非可換コホモロジーに対するホッジ定理のこの記述のアナロジーを次のように与える。ヒッグス束は、が正則ベクトル束であり、が正則自己準同値形式であるペアから構成される。正則ベクトル束は、上で述べたようにの元と同一視できる。したがって、ヒッグス束は直積の元と考えることができる。 ${\displaystyle (E,\Phi )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \Phi \in H^{0}(X,\operatorname {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1})}$ ${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))}$

$${\displaystyle (E,\Phi )\in {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))\oplus H^{0}(X,\operatorname {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}).}$$

非可換ホッジ対応は、基本群の -表現のモジュライ空間からヒッグス束のモジュライ空間への同型を与え、したがって同型として書くことができる。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (r,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

$${\displaystyle \operatorname {Rep} (\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))\cong {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))\oplus H^{0}(X,\operatorname {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1}).}$$

これは、上記の通常のホッジ分解の類推として見ることができます。表現のモジュライ空間は、非可換係数を持つの最初のコホモロジーの役割を果たし、コホモロジー集合は空間の役割を果たし、群は正則 (1,0)-形式 の役割を果たします。 ${\displaystyle \operatorname {Rep} (\pi _{1}(X),\operatorname {GL} (r,\mathbb {C} ))}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X,{\mathcal {GL}}(r,\mathbb {C} ))}$${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle H^{0}(X,\operatorname {End} (E)\otimes {\boldsymbol {\Omega }}^{1})}$${\displaystyle H^{0}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{1})}$

ここでの同型性は と書かれていますが、これは実際の集合の同型性ではありません。ヒッグス束のモジュライ空間は上記の直和によって文字通り与えられるわけではなく、これは単なる類推です。 ${\displaystyle \cong }$

半安定ヒッグス束のモジュライ空間には、ヒッグス場をスケーリングすることによって与えられる乗法群の自然な作用があります。に対して。アーベルコホモロジーの場合、そのような作用はホッジ構造を生じます。これは、コンパクトケーラー多様体のコホモロジーのホッジ分解の一般化です。非アーベルホッジ定理を理解する1つの方法は、モジュライ空間への作用を使用してホッジフィルタリングを取得することです。これにより、基礎となる多様体 の新しい位相不変量につながる可能性があります。たとえば、この方法で、コンパクトケーラー多様体の基本群として現れる可能性のあるグループに関する制限が得られます。^[7]${\displaystyle M_{Dol}^{ss}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \lambda \cdot (E,\Phi )=(E,\lambda \Phi )}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle M_{B}^{+}}$${\displaystyle X}$