マブチ機能

数学、特に複素幾何学において、馬渕汎関数またはKエネルギー汎関数は、臨界点が定スカラー曲率ケーラー計量であるコンパクトケーラー多様体のケーラーポテンシャル空間上の汎関数である。馬渕汎関数は、ファノ多様体上のケーラー・アインシュタイン計量の存在を妨げる二木不変量を積分する汎関数として1985年に馬渕俊樹によって導入された。 ^[1]

マブチ汎関数は、幾何不変量理論とシンプレクティック簡約におけるモーメントマップの対数ノルム汎関数の類似物である。^{[2]マブチ汎関数は、} K安定性の理論において、定スカラー曲率ケーラー計量の存在を特徴付ける解析汎関数として現れる。ケーラーポテンシャル空間内の任意の測地線に沿ったマブチ汎関数の無限遠での傾きは、対応するテスト構成のドナルドソン-二木不変量によって与えられる。

^{ファノ多様体上のケーラー・アインシュタイン計量の研究におけるバーマン・ブックソム・ジョンソン[3]}の変分手法のおかげで、マブチ汎関数とそのさまざまな一般化は、特に特異点のある設定でのファノ多様体のK安定性の研究において非常に重要になってきました。

マブチ関数は、コンパクト複素多様体上の固定ケーラーコホモロジー類内のケーラーポテンシャル空間上で定義されます。^{[4] を}固定ケーラー計量 を持つコンパクトケーラー多様体とします。すると、 -補題 により、ド・ラームコホモロジーの類内の任意の他のケーラー計量は、滑らかな関数 、ケーラーポテンシャルによってに関連付けることができます。 ${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle [\omega ]\in H_{\text{dR}}^{2}(M)}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \varphi \in C^{\infty }(X)}$

${\displaystyle \omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi .}$

この新しい2次元形式がケーラー計量であることを保証するには、正の形式である必要があります。

${\displaystyle \omega _{\varphi }>0.}$

これら2つの条件はケーラーポテンシャルの空間を定義する。

${\displaystyle {\mathcal {K}}=\{\varphi :M\to \mathbb {R} \mid \varphi \in C^{\infty }(X),\quad \omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi >0\}.}$

定数関数だけ異なる任意の 2 つのケーラーポテンシャルは同じケーラー計量を定義するため、クラスのケーラー計量の空間は、定数関数を法とするケーラーポテンシャルと同一視できます。代わりに、 上の積分が 0 になるように正規化するケーラーポテンシャルに制限することもできます。 ${\displaystyle [\omega ]}$${\displaystyle {\mathcal {K}}/\mathbb {R} }$${\displaystyle M}$

への接空間は、上の滑らかな実数値関数の空間と同一視できる。に対応するリーマン計量のスカラー曲率を で表し、上のこのスカラー曲率の平均を で表すものとする。これはストークスの定理により の選択には依存しない。ケーラーポテンシャルの空間上に 微分1形式を次のように定義する。${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S_{\varphi}}$${\displaystyle \omega _{\varphi }}$${\displaystyle {\hat {S}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle \alpha _{\varphi }(\psi )=\int _{M}\psi ({\hat {S}}-S_{\varphi })\omega _{\varphi }^{n}.}$

この1形式は閉じている。^[4]は収縮可能な空間なので、この1形式は正確であり、となるように正規化された汎関数 が存在する。これはマブチ汎関数またはKエネルギー である。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}:{\mathcal {K}}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {M}}(0)=0}$${\displaystyle d{\mathcal {M}}=\alpha }$

馬渕関数は、1形式を経路に沿って積分することによって明示的に記述される。を固定ケーラーポテンシャルとし、 とすることができる。また、 、をからへの経路とする。すると、 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \varphi_{0}}$${\displaystyle \varphi_{0}=0}$${\displaystyle \varphi_{1}=\varphi}$${\displaystyle \varphi_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \varphi_{0}}$${\displaystyle \varphi_{1}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}(\varphi )=\int _{0}^{1}\int _{M}{\dot {\varphi }}_{t}({\hat {S} }-S_{\varphi _{t}})\omega _{\varphi _{t}}^{n}dt.}$

この積分は経路の選択とは無関係であることが示されます。 ${\displaystyle \varphi_{t}}$

1形式による馬渕関数の定義から、ケーラーポテンシャルの場合、変化は ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}{\mathcal {M}}(\varphi +t\psi )=\int _{M}\psi ({\hat {S}}-S_{\varphi })\omega _{\varphi }^{n}}$

がすべての接ベクトルに対して消滅するのは、 の場合のみである。つまり、マブチ汎関数の臨界点は、一定のスカラー曲率を持つケーラーポテンシャルとまったく同じである。^[4]${\displaystyle \psi \in C^{\infty }(M)}$${\displaystyle {\hat {S}}=S_{\varphi }}$