エルゴード理論

エルゴード理論は、決定論的動的システムの統計的特性を研究する数学の分野であり、エルゴード性の研究です。この文脈では、「統計的特性」とは、動的システムの軌跡に沿ったさまざまな関数の時間平均の挙動を通じて表現される特性を指します。決定論的動的システムの概念は、ダイナミクスを決定する方程式にランダムな摂動、ノイズなどが含まれていないことを前提としています。したがって、私たちが関心を持っている統計は、ダイナミクスの特性です。

エルゴード理論は、確率論と同様に、測度論の一般的な概念に基づいています。その初期の発展は、統計物理学の問題によって動機づけられました。

エルゴード理論の中心的な関心事は、長時間実行された場合の動的システムの挙動です。この方向での最初の結果はポアンカレの再帰定理であり、位相空間の任意の部分集合内のほぼすべての点は最終的にその集合に戻ると主張しています。ポアンカレの再帰定理が成り立つシステムは保存システムであり、したがってすべてのエルゴードシステムは保存システムです。

より正確な情報は、特定の条件下では、軌道に沿った関数の時間平均がほぼどこにでも存在し、空間平均と関連していると主張するさまざまなエルゴード定理によって提供されます。最も重要な定理の 2 つは、各軌道に沿った時間平均の存在を主張するバーコフ(1931) とフォン ノイマンの定理です。エルゴード システムの特殊なクラスでは、この時間平均はほとんどすべての初期点で同じです。統計的に言えば、長時間進化するシステムは、その初期状態を「忘れます」。混合や均等分布などのより強力な特性も、広範囲に研究されています。

システムの計量分類の問題は、抽象エルゴード理論のもう一つの重要な部分です。エルゴード理論とその確率過程への応用において、動的システムの エントロピーのさまざまな概念が重要な役割を果たしています。

エルゴード性の概念とエルゴード仮説は、エルゴード理論の応用において中心的な役割を果たしている。その根底にある考え方は、ある特定のシステムでは、その特性の時間平均が空間全体の平均に等しいというものである。エルゴード理論を数学の他の分野に応用するには、通常、特殊な種類のシステムについてエルゴード性特性を確立する必要がある。幾何学では、負の曲率を持つリーマン面に対するエバーハルト・ホップの結果に始まり、エルゴード理論の手法がリーマン多様体上の測地線フローの研究に使用されてきた。マルコフ連鎖は確率論への応用において共通の文脈を形成する。エルゴード理論は、調和解析、リー理論（表現論、代数群の格子）、および数論（ディオファントス近似の理論、L関数）と有益なつながりを持っている。

エルゴード理論は、エルゴード変換に関係することが多い。与えられた集合に作用するこのような変換の背後にある直感は、その集合の要素を徹底的に「かき混ぜる」というものである。例えば、集合がボウルの中の熱いオートミールの量であり、スプーン一杯のシロップをボウルに落とすと、オートミールのエルゴード変換の逆の反復によって、シロップがオートミールの局所的なサブ領域に留まらず、全体にシロップが均等に分散される。同時に、これらの反復によってオートミールのどの部分も圧縮または膨張しない。密度という尺度が保持される。

正式な定義は次のとおりです。

T  : X → X を測度空間( X , Σ , μ )上の測度保存変換とし、μ ( X ) = 1 とする。このとき、 μ ( T −1 ⁽ E ) Δ E ) = 0（つまり、Eが不変）であるΣ内のすべてのEに対して、μ ( E ) = 0またはμ ( E ) = 1 のいずれかである場合、 Tはエルゴード的である。

ここでの演算子 Δ は、集合の対称差であり、集合の所属に関する排他的論理和演算に相当します。対称差が測度 0 であるという条件は、本質的に不変であると呼ばれます。

• 円R / Zの無理回転T : x → x + θ ( θ は無理数)はエルゴード的です。この変換は、一意のエルゴード性、極小性、および等分布というさらに強力な特性を持ちます。対照的に、 θ = p / qが有理数 ( 最低の項で ) の場合、 Tは周期qで周期的であり、したがってエルゴードにはなれません。長さaの任意の区間I ( 0 < a < 1/ q )に対して、 Tによるその軌道( つまり、I、T ( I )、...、T ^{q −1} ( I ) の和集合で、 Tを任意回数適用した場合のIの像を含む) は、 0 を法としてT不変な集合であり、長さaのq 個の区間の和集合であるため、測度qa は厳密に 0 と 1 の間になります。
• G をコンパクトアーベル 群、μを正規化されたハール測度、T をGの群自己同型とする。G * をGの連続指標からなるポンチャギン双対群とし、T * をG *の対応する随伴自己同型とする。自己同型Tがエルゴードであるための必要十分条件は、等式 ( T *) ⁿ ( χ ) =  χ がn  = 0 またはχ がGの自明指標である場合のみである。特に、Gがn次元トーラスであり、自己同型T がユニモジュラ行列Aによって表される場合、Tがエルゴードであるための必要十分条件は、 Aのどの固有値も単位根ではないことである。
• ベルヌーイシフトはエルゴード的です。より一般的には、一連のiid ランダム変数といくつかのより一般的な定常プロセスに関連付けられたシフト変換のエルゴード性は、コルモゴロフのゼロ-1 法則に従います。
• 連続力学系のエルゴード性とは、その軌道が位相空間の周囲に「広がる」ことを意味する。定数でない第 1 積分を持つコンパクトな位相空間を持つシステムは、エルゴードにはなり得ない。これは特に、ハミルトン関数Hから機能的に独立した第 1 積分Iと、定数エネルギーのコンパクトなレベル セットX = {( p , q ): H ( p , q ) = E} を持つハミルトン系に当てはまる。リウヴィルの定理は、X上に有限の不変測度が存在することを暗示しているが、システムのダイナミクスはX上のIのレベル セットに制限されるため、システムは正だが完全測度未満の不変セットを持つ。エルゴード性と反対の連続力学系の特性は、完全な積分可能性である。

T : X → X を測度空間( X , Σ, μ )上の測度保存変換とし、 ƒ はμ積分可能な関数、すなわち ƒ ∈ L ¹ ( μ ) であるとします。このとき、次の平均を定義します。

時間平均:これは、ある初期点xから始まるTの反復の平均 (存在する場合) として定義されます。

${\displaystyle {\hat {f}}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x).}$

空間平均: μ ( X ) が有限かつ非ゼロの場合、ƒ の空間平均または位相平均を考えることができます。

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu .\quad {\text{ （確率空間の場合、}}\mu (X)=1.）}$

一般に、時間平均と空間平均は異なる場合があります。しかし、変換がエルゴード的で、測度が不変である場合、時間平均はほぼすべての場所で空間平均に等しくなります。これは、ジョージ・デイビッド・バーコフによる抽象的な形の有名なエルゴード定理です。（実際には、バーコフの論文は抽象的な一般的なケースではなく、滑らかな多様体上の微分方程式から生じる動的システムの場合のみを検討しています。）等分布定理は、エルゴード定理の特殊なケースであり、単位区間上の確率の分布を具体的に扱います。

より正確には、点ごとの定理または強いエルゴード定理は、ƒ の時間平均の定義における極限がほぼすべてのxに対して存在し、（ほぼどこでも定義されている）極限関数が積分可能であることを述べています。 ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle {\hat {f}}\in L^{1}(\mu ).\,}$

さらに、T不変である、つまり ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle {\hat {f}}\circ T={\hat {f}}\,}$

ほぼどこでも成り立ち、μ ( X )が有限であれば正規化は同じになります。

${\displaystyle \int {\hat {f}}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$

特に、Tがエルゴード的であれば、は定数（ほぼどこでも）であるはずであり、したがって ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle {\bar {f}}={\hat {f}}\,}$

ほぼどこでも同じである 。最初の主張から最後の主張までをまとめ、μ ( X ) が有限かつ非ゼロであると仮定すると、

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu }$

ほぼすべての xに対して、つまり測度ゼロの集合を除くすべてのxに対して。

エルゴード変換の場合、時間平均はほぼ確実に空間平均に等しくなります。

例として、測度空間 ( X、Σ、μ ) が上記のようにガスの粒子をモデル化し、 ƒ( x ) が位置xにおける粒子の速度を表すものとします。すると、点ごとのエルゴード定理によれば、ある特定の時間におけるすべての粒子の平均速度は、時間の経過に伴う 1 つの粒子の平均速度に等しくなります。

バーコフの定理の一般化はキングマンの劣加法エルゴード定理である。

バーコフ・ヒンチンの定理。ƒ が測定可能、E (|ƒ|) < ∞、Tが測度保存写像であるとする。このとき、確率 1 で次のようになる。

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f\mid {\mathcal {C}})(x),}$

ここで、 はTの不変集合のσ 代数が与えられたときの条件付き期待値です。 ${\displaystyle E(f|{\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

系（点ごとのエルゴード定理）：特に、Tもエルゴードであれば、は自明な σ-代数であり、したがって確率 1 で次のようになります。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f).}$

フォン・ノイマンの平均エルゴード定理はヒルベルト空間で成立する。^[1]

U をヒルベルト空間H上のユニタリ作用素、より一般的には等長線型作用素（つまり、H内のすべてのxに対して ‖ Ux ‖ = ‖ x ‖を満たす、または同等に、U * U = I を満たすが、必ずしもUU * = I ではない、全射線型作用素）とする。Pを{ ψ  ∈  H  |  Uψ  = ψ} = ker( I  −  U ) への直交射影とする。

すると、H内の任意のxに対して次の式が成り立ちます。

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}x=Px,}$

ここで、極限はHのノルムに関するものである。言い換えれば、平均の列

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}}$

強演算子位相においてPに収束します。

実際、この場合、任意の がそれぞれとからの部分に直交分解できることは容易にわかります。前者の部分は が大きくなるにつれてすべての部分和に対して不変ですが、後者の部分については、伸縮級数から次の式が得られます。 ${\displaystyle x\in H}$${\displaystyle \ker(IU)}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {ran} (IU)}}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}(IU)=\lim _{N\to \infty }{1 \over N}(IU^{N})=0}$

この定理は、ヒルベルト空間Hが測度空間上のL ²関数で構成され、 Uが次の形式の作用素で ある場合に特化している。

${\displaystyle Uf(x)=f(Tx)\,}$

ここで、TはXの測度保存自己準同型であり、応用においては離散力学系の時間ステップを表すものと考えられる。^[2] エルゴード定理は、関数ƒ の十分に大きな時間スケールでの平均的な振る舞いは、時間不変なƒ の直交成分によって近似されることを主張している。

平均エルゴード定理の別の形式では、U _{t を}H上のユニタリ作用素の強連続な1パラメータ群とする。このとき、作用素

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}\,dt}$

は、 T → ∞のときに強い作用素位相で収束します。実際、この結果は、反射空間上の収縮作用素の 強連続な1 パラメータ半群の場合にも拡張されます。

注: 平均エルゴード定理に対する直観は、単位長さの複素数が複素平面上のユニタリ変換 (左乗法による) と見なされる場合を考えることによって、ある程度導き出すことができます。単位長さの複素数を 1 つ ( Uと考える) 選択すると、その累乗が円を埋め尽くすことは直観的にわかります。円は 0 を中心に対称なので、Uの累乗の平均が 0 に収束するのは当然です。また、 0 はUの唯一の不動点であるため、不動点の空間への射影はゼロ演算子 (先ほど説明した制限と一致する) でなければなりません。

( X , Σ, μ ) を上記のように測度保存変換Tを持つ確率空間とし、1 ≤ p ≤ ∞ とする。 T不変集合の部分 σ 代数 Σ _Tに関する条件付き期待値は、バナッハ空間L ^p ( X , Σ, μ )のノルム 1 のその閉部分空間L ^p ( X , Σ _T , μ ) への線型射影E _Tである。後者は、X上のすべてのT不変L ^p関数の空間としても特徴付けられる。 L ^p ( X , Σ, μ )上の線型作用素としてのエルゴード平均も作用素ノルムが 1 であり、バーコフ・ヒンチンの定理の単純な帰結として、 1 ≤ p ≤ ∞ の場合はL ^pの強作用素位相で射影E _Tに収束し、p = ∞の場合は弱作用素位相で射影 E T に収束する。さらに、 1 < p ≤ ∞ の場合、ウィーナー・吉田・角谷のエルゴード優勢収束定理によれば、 ƒ ∈ L ^pのエルゴード平均はL ^pで優勢になります。ただし、 ƒ ∈ L ^{1の場合、エルゴード平均は}L ^pで等優勢にならない可能性があります。最後に、 ƒ がジグムント類であると仮定すると、 |ƒ| log ^{+ (|ƒ|) は積分可能になり、エルゴード平均は}L ¹で優勢になります。

( X , Σ, μ ) を測度空間とし、μ ( X ) は有限かつ非ゼロとする。測定可能な集合Aで費やされる時間は滞在時間と呼ばれる。エルゴード定理から直接導かれる結論は、エルゴード系ではAの相対測度は平均滞在時間に等しいということである。

${\displaystyle {\frac {\mu (A)}{\mu (X)}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int \chi _{A}\,d\mu =\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\chi _{A}(T^{k}x)}$

測度ゼロの集合を除くすべてのxに対して、 χ _AはAの指示関数です。

測定可能な集合Aの出現回数は、 T ^k ( x ) がAに含まれる回数kの集合k ₁、k ₂、k ₃ 、...として定義され、昇順で並べられます。連続する出現回数の差R _i = k _i − k _{i −1は、} Aの再帰回数と呼ばれます。エルゴード定理のもう1つの結果は、初期点xがA内にあると仮定すると^{[説明が必要]}、k _{0 = 0 となり、} Aの平均再帰回数はAの測度に反比例することです。

${\displaystyle {\frac {R_{1}+\cdots +R_{n}}{n}}\rightarrow {\frac {\mu (X)}{\mu (A)}}\quad {\text{(ほぼ確実に)}}}$

(ほぼ確実にを参照してください。) つまり、Aが小さいほど、そこに戻るのに時間がかかります。

可変負曲率のコンパクト リーマン面上および任意次元の定負曲率のコンパクト多様体上の測地線フローのエルゴード性は、1939 年にEberhard Hopfによって証明されましたが、特殊なケースは以前にも研究されていました。たとえば、Hadamard のビリヤード(1898) やArtin のビリヤード(1924) を参照してください。リーマン面上の測地線フローとSL(2, R )上の 1 パラメータ部分群の関係は、 1952 年にSV FominとIM Gelfandによって説明されました。Anosovフローの論文では、 SL(2, R )上および負曲率のリーマン面上のエルゴードフローの例が提供されています。そこで説明されている展開の多くは、双曲多様体に一般化されます。なぜなら、双曲多様体は、半単純リー群SO(n,1)の格子の作用による双曲空間の商として見ることができるからです。リーマン対称空間上の測地線流のエルゴード性は、1957 年にFI マウトナーによって実証されました。1967 年にDV アノソフとYa. G. シナイは、可変の負の断面曲率を持つコンパクト多様体上の測地線流のエルゴード性を証明しました。半単純リー群の同次空間上の同次流のエルゴード性に関する簡単な基準は、 1966 年にカルビン C. ムーアによって与えられました。この研究分野の定理と結果の多くは、剛性理論の典型的なものです。

1930 年代にGA Hedlund は、コンパクトな双曲面上のホロサイクル フローが極小かつエルゴードであることを証明しました。フローの一意的なエルゴード性は、1972 年にHillel Furstenbergによって確立されました。Ratnerの定理は、形式 Γ \ Gの同次空間上のユニポテント フローのエルゴード性の主要な一般化を提供します 。ここで、Gはリー群であり、 Γ はG内の格子です 。

過去 20 年間、ファーステンバーグとマーギュリスの予想に触発されて、対角化可能な作用に対するラトナーの定理に似た測度分類定理を見つけようとする多くの研究が行われてきました。重要な部分的な結果 (正のエントロピーという追加の仮定でこれらの予想を解く) はエロン・リンデンシュトラウスによって証明され、この結果により彼は 2010 年に フィールズ賞を受賞しました。

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• リャプノフ時間–システムの予測可能性の制限時間
• 最大エルゴード定理
• オルンシュタイン同型定理
• 統計力学
• 象徴的なダイナミクス

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• この記事には、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMathの ergodic theorem の資料が組み込まれています。
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Wikiquote にはエルゴード理論に関連する引用があります。

• エルゴード理論 (2015 年 6 月 16 日) Cosma Rohilla Shalizi によるメモ
• エルゴード定理はテストに合格 Physics Worldより