幾何力学

幾何力学は、粒子や剛体の力学から流体力学や制御理論まで、力学の多くの領域に特定の幾何学的方法を適用する数学の分野です。

幾何力学は、主に、配置空間がリー群、または微分同相写像の群であるシステム、またはより一般的には、配置空間の一部がこの群構造を持つシステムに適用されます。たとえば、衛星などの剛体の配置空間はユークリッド運動（空間内での並進と回転）の群ですが、液晶の配置空間は、内部状態（ゲージ対称性または秩序パラメータ）と結合した微分同相写像の群です。

運動量マップと削減

幾何力学の主要なアイデアの 1 つに縮小がある。これは、3 体問題における Jacobi のノード消去に遡るが、その現代的な形は K. Meyer (1973) および独立にJE MarsdenとA. Weinstein (1974) によるものであり、両者とも Smale (1970) の研究に触発されている。ハミルトン系またはラグランジアン系の対称性は、ノイマンの定理により保存量を生じ、これらの保存量は運動量写像 Jの成分である。位相空間をP 、対称群をG とすると、運動量写像は写像となり、縮小空間は、問題のレベルセットを保存するGの部分群によるJのレベルセットの商となる。つまり、が定義され、がJの正則値である場合、この縮小空間はシンプレクティック多様体となる。 $\mathbf {J} :P\to {\mathfrak {g}}^{*}$ $\mu \in {\mathfrak {g}}^{*}$ $P_{\mu }=\mathbf {J} ^{-1}(\mu )/G_{\mu }$ $\mu$

変分原理

幾何学的積分器

力学に対する幾何学的アプローチから生じた重要な発展の 1 つは、幾何学を数値手法に組み込んだことです。特に、シンプレクティック積分器と変分積分器は、ハミルトン系とラグランジアン系の長期積分に特に正確であることが証明されています。

歴史

「幾何力学」という用語は、17世紀の力学を指すこともあります。^[1]

現代の学問としての幾何力学は、1960年代に書かれた4つの著作にそのルーツを持っています。これらは、ウラジミール・アーノルド(1966年)、スティーブン・スメール(1970年)、ジャン＝マリー・スーリオ(1970年) によるもので、エイブラハムとマースデンの『力学の基礎』 (1967年)の初版です。アーノルドの基礎研究は、自由剛体に対するオイラーの方程式が回転群 SO(3) 上の測地線流の方程式であることを示し、この幾何学的洞察を理想流体の力学に持ち込み、回転群を体積保存微分同相写像の群に置き換えました。スメールの「位相と力学」の論文では、リー群の対称性が機械系に作用するときにノイマンの定理から生じる保存量を調べ、現在では運動量マップと呼ばれるもの（スメールは角運動量と呼んでいる）を定義し、エネルギー運動量レベル表面の位相と動力学への影響について疑問を提起している。スリオも著書の中で、対称性のグループの作用から生じる保存量を考察しているが、関係する幾何学的構造（たとえば、幅広い対称性クラスに対するこの運動量の等変性特性）に重点を置き、動力学の問題についてはあまり触れていない。

これらのアイデア、特にスメールのアイデアは、『力学の基礎』第 2 版(Abraham and Marsden、1978 年) の中心的な内容でした。

アプリケーション

コンピュータグラフィックス
制御理論 — Bloch (2003) を参照
液晶 — Gay-Balmaz、Ratiu、Tronci (2013) を参照
電磁流体力学
分子振動
非ホロノミック制約 — Bloch (2003) を参照
非線形安定性
プラズマ — Holm、Marsden、Weinstein (1985) を参照
量子力学
量子化学 — Foskett、Holm、Tronci (2019) を参照
超流体
熱力学 — Gay-Balmaz, Yoshimra (2018) を参照
宇宙探査の軌道計画
水中車両
変分積分器。Marsden and West (2001) を参照。

参考文献

^ セバスチャン・マロンヌ、マルコ・パンザ。「オイラー、ニュートンの読本：力学と代数解析」。ラファエル・ピサーノ著『ニュートン、科学の歴史と歴史的認識論』、2014年、12～21頁。

アブラハム、ラルフ、マースデン、ジェロルド E. (1978)、力学の基礎(第 2 版)、アディソンウェズリー
Arnold, Vladimir (1966)、「Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de Dimensions infine et ses application a l'流体力学 des fludes parfaits」(PDF)、Annales de l'Institut Fourier、16 : 319–361、doi : 10.5802 /aif.233
アーノルド、ウラジミール（1978）、古典力学の数学的手法、シュプリンガー・フェアラーク
ブロック、アンソニー (2003)。非ホロノミック力学と制御。Springer-Verlag。
フォスケット、マイケル・S.ホルム、ダリル D.チェーザレのトロンチ（2019）。「非断熱量子流体力学の幾何学」。Acta Applicandae Mathematicae。162 (1): 63-103。arXiv : 1807.01031。土井：10.1007/s10440-019-00257-1。S2CID 85531406。
Gay-Balmaz, Francois; Ratiu, Tudor ; Tronci, Cesare (2013). 「液晶ダイナミクスの等価理論」. Arch. Ration. Mech. Anal . 210 (3): 773–811. arXiv : 1102.2918 . Bibcode :2013ArRMA.210..773G. doi :10.1007/s00205-013-0673-1. S2CID 14968950.
Holm, Darryl D.; Marsden, Jerrold E .; Ratiu, Tudor S .; Weinstein, Alan (1985). 「流体およびプラズマ平衡の非線形安定性」. Physics Reports . 123 (1–2): 1–116. Bibcode :1985PhR...123....1H. doi :10.1016/0370-1573(85)90028-6.
リーベルマン、ポレット、マール、シャルル・ミシェル (1987)。シンプレクティック幾何学と解析力学。数学とその応用。第35巻。ドルドレヒト：D. ライデル。doi : 10.1007 / 978-94-009-3807-6。ISBN 90-277-2438-5。
マースデン、ジェロルド、ワインスタイン、アラン（1974）、「対称性を持つシンプレクティック多様体の縮約」、数理物理学レポート、5（1）：121–130、Bibcode：1974RpMP....5..121M、doi：10.1016/0034-4877（74）90021-4
マースデン、ジェロルド、ラティウ、チューダー S. (1999)。力学と対称性入門。応用数学テキスト (第 2 版)。ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 0-387-98643-X。
マイヤー、ケネス (1973)。「力学における対称性と積分」。動的システム (Proc. Sympos.、Univ. Bahia、サルバドール、1971)。ニューヨーク: アカデミックプレス。pp. 259–272。
オルテガ、フアン・パブロ、ラティウ、チューダー S. (2004)。運動量マップとハミルトン縮小。数学の進歩。第 222 巻。バークハウザーボストン。ISBN 0-8176-4307-9。
スメール、スティーブン（1970）、「トポロジーと力学I」、Inventiones Mathematicae、10（4）：305–331、Bibcode：1970InMat..10..305S、doi：10.1007/bf01418778、S2CID 189831616
スリオ、ジャン＝マリー(1970)、Structure des Systemes Dynamiques、Dunod

[1] セバスチャン・マロンヌ、マルコ・パンザ。「オイラー、ニュートンの読本：力学と代数解析」。ラファエル・ピサーノ著『ニュートン、科学の歴史と歴史的認識論』、2014年、12～21頁。