シンプレクティックベクトル場

物理学と数学において、シンプレクティック ベクトル場とは、その流れがシンプレクティック形式を保存するベクトル場のことである。つまり、が滑らかな多様体とシンプレクティック形式を持つシンプレクティック多様体である場合、その流れがシンプレクティック構造を保存するなら、リー代数 のベクトル場はシンプレクティックである。言い換えれば、ベクトル場の リー微分はゼロでなければならない。${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0}$^[1 ]

別の定義では、ベクトル場がシンプレクティックであるとは、そのベクトル場とシンプレクティック形式との内積が閉じている場合である。^[1]（内積はベクトル場から1形式への写像を与え、これはシンプレクティック2形式の非退化による同型である。）定義の同値性は、シンプレクティック形式の閉性と、外微分に関するリー微分に対するカルタンの魔法の公式から導かれる。

ベクトル場とシンプレクティック形式の内積が正確な形式（特に、閉じた形式）である場合、それはハミルトンベクトル場と呼ばれます。多様体の最初のド・ラームコホモロジー群が自明である場合、すべての閉じた形式は正確であるため、すべてのシンプレクティックベクトル場はハミルトンです。つまり、シンプレクティックベクトル場がハミルトンであることに対する障害は にあります。特に、 単連結多様体上のシンプレクティックベクトル場はハミルトンです。 ${\displaystyle H^{1}(M)}$${\displaystyle H^{1}(M)}$

2 つのシンプレクティック ベクトル場のリー括弧はハミルトンであり、したがってシンプレクティック ベクトル場の集合とハミルトン ベクトル場の集合は両方ともリー代数を形成します。

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• nLab上のシンプレクティック ベクトル フィールド