南部機械工

数学において、南部力学は複数のハミルトニアンを含むハミルトニアン力学の一般化である。ハミルトニアン力学は、シンプレクティック多様体上の滑らかなハミルトニアンによって生成される流れに基づいていることを思い出してほしい。流れはシンプレクトモルフィズムであり、したがってリウヴィルの定理に従う。これはすぐにポアソン多様体上のハミルトニアンによって生成される流れに一般化された。1973年、南部陽一郎は、複数のハミルトニアンを含む南部-ポアソン多様体を含む一般化を提案した。^{[ 1 ]} 1994年、レオン・タフタジャンは南部力学を再検討した。^{[ 2 ]}

具体的には、ある整数N ≥ 2に対して、微分多様体M^{を考えます。C ∞} ( M )のN 個のコピー からそれ自身への滑らかなN線形写像が存在し、それは完全に反対称です。南部括弧、

${\displaystyle \{h_{1},\ldots ,h_{N-1},\cdot \}:C^{\infty }(M)\times \cdots C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M),}$

これは派生として機能します

${\displaystyle \{h_{1},\ldots ,h_{N-1},fg\}=\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},f\}g+f\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},g\},}$

そこからフィリポフ恒等式（FI）^{[ 3 ]} （ ヤコビ恒等式を想起させるが、それらとは異なり、 N ≥ 2の場合、すべての引数で反対称化されて いない）：

${\displaystyle \{f_{1},\cdots ,~f_{N-1},~\{g_{1},\cdots ,~g_{N}\}\}=\{\{f_{1},\cdots ,~f_{N-1},~g_{1}\},~g_{2},\cdots ,~g_{N}\}+\{g_{1},\{f_{1},\cdots ,f_{N-1},~g_{2}\},\cdots ,g_{N}\}+\dots }$${\displaystyle +\{g_{1},\cdots ,g_{N-1},\{f_{1},\cdots ,f_{N-1},~g_{N}\}\},}$

そのため 、{ f ₁ ,  ..., f _{N − 1} , •}は  N重積{. ,..., .}上の一般化された微分 として機能します。  

非圧縮性の流れを生成するハミルトニアンH ₁、...、H _{N − 1}がN − 1 個存在する。  

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f=\{f,H_{1},\ldots ,H_{N-1}\},}$

一般化された位相空間速度は発散しないため、リウヴィルの定理が成り立つ。N = 2の場合はポアソン多様体 となり、従来のハミルトン力学が適用される。

偶数Nが大きい場合、N − 1 個のハミルトニアンは、 N次元位相空間で進化する超積分可能なシステムを特徴付ける、独立な運動不変量の最大数 (保存量参照)と同一視されます。このようなシステムは、従来のハミルトニアン力学でも記述できますが、南部力学の枠組みでの記述は、すべての不変量がハミルトニアンと同じ幾何学的地位を持つため、はるかに洗練されていて直感的です。位相空間における軌跡は、これらの不変量に​​よって指定されるN − 1 個の超曲面の交点です。したがって、流れはこれらのハミルトニアンのすべてのN − 1 個の勾配に垂直であり、したがって、それぞれの南部括弧によって指定される一般化された外積に平行です。

南部力学は流体力学に拡張することができ、その結果得られる南部括弧は非正準であり、ハミルトニアンはエンストロフィーやヘリシティなどのシステムのカシミールと同一視される。^{[ 4 ] [ 5 ]}

ザリスキー量子化の観点から、タフタジャンらは南部力学の量子化を提案している。^{[ 6 ]}

南部ダイナミクスを量子化すると、興味深い構造^{[ 7 ]}が得られ、超積分可能なシステムが関与する場合、従来の量子化構造と一致します。

行列モデルとM2ブレーンに関連して、S. Katagiriは最近、南部ダイナミクスの量子化について議論した。^{[ 8 ]}

• ハミルトン力学
• シンプレクティック多様体
• ポアソン多様体
• ポアソン代数
• 統合可能なシステム
• 保存量
• ハミルトン流体力学

• Curtright, T. ; Zachos, C. (2003). "古典的および量子的南部力学". Physical Review D . 68 (8) 085001. arXiv : hep-th/0212267 . Bibcode : 2003PhRvD..68h5001C . doi : 10.1103/PhysRevD.68.085001 . S2CID 17388447 . 
• Takhtajan, Leon (1994). 「一般化された南部力学の基礎について」 . Communications in Mathematical Physics . 160 (2): 295–315 . arXiv : hep-th/9301111 . Bibcode : 1994CMaPh.160..295T . doi : 10.1007/BF02103278 . S2CID 119137896 . 
• Filippov, VT (1986). "n-Lie Algebras". Sib. Math. Journal . 26 (6): 879– 891. doi : 10.1007/BF00969110 . S2CID 125051596 . 
• 南部 裕子(1973). 「一般化ハミルトニアンダイナミクス」. Physical Review D. 7 ( 8): 2405–2412 . Bibcode : 1973PhRvD...7.2405N . doi : 10.1103/PhysRevD.7.2405 .
• Nevir, P.; Blender, R. (1993). "ヘリシティとエンストロフィーを用いた非圧縮性流体力学の南部表現". Journal of Physics A . 26 (22): 1189– 1193. Bibcode : 1993JPhA...26L1189N . doi : 10.1088/0305-4470/26/22/010 .
• Blender, R.; Badin, G. (2015). "幾何学的制約から導出された流体力学的南部力学". Journal of Physics A . 48 (10) 105501. arXiv : 1510.04832 . Bibcode : 2015JPhA...48j5501B . doi : 10.1088/1751-8113/48/10/105501 . S2CID 119661148 . 
• Dito, G.; Flato, M.; Sternheimer, D.; Takhtajan, L. (1997). "変形量子化と南部力学" . Communications in Mathematical Physics . 183 (8): 1– 22. arXiv : hep-th/9602016 . Bibcode : 1994CMaPh.160..295T . doi : 10.1007/BF02509794 . S2CID 119137896 . 
• Blender, R.; Badin, G. (2017). "浅水方程式のハミルトニアン形式と南部形式の構築" . Fluids . 2 (2): 24. arXiv : 1606.03355 . Bibcode : 2017Fluid...2...24B . doi : 10.3390/fluids2020024 . S2CID 36189352 .