南部メカニック

数学において、南部力学は複数のハミルトニアンを含むハミルトニアン力学の一般化である。ハミルトニアン力学は、シンプレクティック多様体上の滑らかなハミルトニアンによって生成されるフローに基づいていることを思い出してほしい。フローはシンプレクティック同型であり、したがってリウヴィルの定理に従う。これはすぐに、ポアソン多様体上のハミルトニアンによって生成されるフローに一般化された。1973年、南部陽一郎は、複数のハミルトニアンを含む南部-ポアソン多様体を含む一般化を提案した。^[1]

具体的には、ある整数N ≥ 2に対して微分多様体 Mを考える。N個の C ^∞ ( M )からそれ自身への滑らかなN線型写像があり、それは完全に反対称である。すなわち、南部括弧、

${\displaystyle \{h_{1},\ldots ,h_{N-1},\cdot \}:C^{\infty }(M)\times \cdots C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M),}$

派生語として機能する

${\displaystyle \{h_{1},\ldots ,h_{N-1},fg\}=\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},f\}g+f\{h_{1},\ldots ,h_{N-1},g\},}$

そこからフィリッポフ恒等式（FI）^[2] （ ヤコビ恒等式を想起させるが、ヤコビ恒等式とは異なり、N ≥ 2に対してすべての議論で反対称化され ない）が導かれる。

${\displaystyle \{f_{1},\cdots ,~f_{N-1},~\{g_{1},\cdots ,~g_{N}\}\}=\{\{f_{1},\cdots ,~f_{N-1},~g_{1}\},~g_{2},\cdots ,~g_{N}\}+\{g_{1},\{f_{1},\cdots ,f_{N-1},~g_{2}\},\cdots ,g_{N}\}+\dots }$ ${\displaystyle +\{g_{1},\cdots ,g_{N-1},\{f_{1},\cdots ,f_{N-1},~g_{N}\}\},}$

したがって、 { f ₁ , ...,  f _{N −1} , •} はN重積{. ,..., .}上の一般化された微分 として機能します。

N − 1 個のハミルトニアンH ₁ , ...,  H _{N −1}があり、非圧縮性の流れを生成する。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f=\{f,H_{1},\ldots ,H_{N-1}\},}$

一般化された位相空間速度は発散せず、リウヴィルの定理が成り立ちます。N = 2の場合はポアソン多様体と従来のハミルトン力学 に簡約されます。

Nがさらに大きい偶数の場合、N −1ハミルトニアンは、 N次元位相空間で発展する超積分系を特徴付ける運動の独立した不変量（保存量を参照）の最大数と同一視されます。このような系は従来のハミルトニアン力学でも記述できますが、南部力学の枠組みでの記述は、すべての不変量がハミルトニアンと同じ幾何学的地位を享受するため、はるかに簡潔で直感的です。位相空間の軌道は、これらの不変量に​​よって指定されるN − 1超曲面の交点です。したがって、フローはこれらのハミルトニアンのすべてのN − 1勾配に対して垂直であり、したがって、それぞれの南部括弧によって指定される一般化外積に平行です。

南部力学は流体力学に拡張することができ、その結果得られる南部括弧は非標準的であり、ハミルトニアンはエンストロフィーやヘリシティなどのシステムのカシミールと同一視される。^{[3] [4]}

南部動力学を量子化すると、超積分系が関与する場合に従来の量子化構造と一致する 興味深い構造^{[5]が得られる。}

• ハミルトン力学
• シンプレクティック多様体
• ポアソン多様体
• ポアソン代数
• 積分可能なシステム
• 保存量
• ハミルトン流体力学

• Curtright, T. ; Zachos, C. (2003). 「古典および量子南部力学」. Physical Review . D68 (8): 085001. arXiv : hep-th/0212267 . Bibcode :2003PhRvD..68h5001C. doi :10.1103/PhysRevD.68.085001. S2CID  17388447.
• Filippov, VT (1986). 「n-Lie 代数」. Sib. Math. Journal . 26 (6): 879–891. doi :10.1007/BF00969110. S2CID  125051596.
• ナンブ, Y. (1973). 「一般化ハミルトン力学」.フィジカルレビュー. D7 (8): 2405–2412. Bibcode :1973PhRvD...7.2405N. doi :10.1103/PhysRevD.7.2405.
• Nevir, P.; Blender, R. (1993). 「ヘリシティとエンストロフィーを用いた非圧縮流体力学のNambu表現」J. Phys. A . 26 (22): 1189–1193. Bibcode :1993JPhA...26L1189N. doi :10.1088/0305-4470/26/22/010.
• Blender, R.; Badin, G. (2015). 「幾何学的制約によって導かれた南部流体力学」J. Phys. A . 48 (10): 105501. arXiv : 1510.04832 . Bibcode :2015JPhA...48j5501B. doi :10.1088/1751-8113/48/10/105501. S2CID  119661148.
• Blender, R.; Badin, G. (2017). 「浅水方程式のハミルトニアンおよび南部形式の構築」.流体. 2 (2): 24. arXiv : 1606.03355 . doi : 10.3390/fluids2020024 . S2CID  36189352.