ハミルトン流体力学

ハミルトン流体力学は、ハミルトン法を流体力学に適用したものです。この形式は非散逸流体にのみ適用されることに注意してください。

順圧性、非 粘性、渦度のない流体の簡単な例を見てみましょう。

そして、共役場は質量密度場ρと速度ポテンシャル φである。ポアソン括弧は次のように与えられる。

${\displaystyle \{\rho ({\vec {y}}),\varphi ({\vec {x}})\}=\delta ^{d}({\vec {x}}-{\vec { y}})}$

ハミルトニアンは次のように表されます。

${\displaystyle H=\int \mathrm {d} ^{d}x{\mathcal {H}}=\int \mathrm {d} ^{d}x\left({\frac {1}{2}} \rho (\nabla \varphi )^{2}+e(\rho )\right),}$

ここで、e はρの関数としての内部エネルギー密度です。この順圧流の場合、内部エネルギーは圧力pと次の式で表されます。

${\displaystyle e''={\frac {1}{\rho }}p',}$

ここでアポストロフィ（'）はρに関する微分を表します。

このハミルトン構造から次の2つの運動方程式が生じます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \varphi }}=-\nabla \cdot (\rho {\vec {u}}),\\{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \rho }}=-{\frac {1}{2}}{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}-e',\end{aligned}}}$

ここでは速度、 は渦度フリーです。2番目の方程式からオイラー方程式が導かれます。 ${\displaystyle {\vec {u}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \nabla \varphi }$

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {u}}=-e''\ナブラ \rho =-{\frac {1}{\rho }}\ナブラ {p}}$

渦度がゼロであるという事実を利用した後：

${\displaystyle \nabla \times {\vec {u}}={\vec {0}}.}$

流体力学は、無限の量のカシミール不変量を持つ非標準的な力学によって記述されるため、南部力学^{[1] [2]}の使用を通じて、流体力学のハミルトン定式化の代替定式化を導入することができる。

• ルークの変分原理
• ハミルトン場理論

• Badin, Gualtiero; Crisciani, Fulvio (2018).流体および地球物理学的流体力学の変分定式化 - 力学、対称性、保存則 - 。Springer。p . 218。Bibcode : 2018vffg.book.....B。doi : 10.1007/978-3-319-59695-2。ISBN 978-3-319-59694-5.S2CID 125902566  。
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