モジュールの生成セット

数学において、環R上のモジュールMの生成集合Γ は、 Mのサブセットであり、 Γ を含むMの最小のサブモジュールはM自身です (サブセットを含む最小のサブモジュールは、そのセットを含むすべてのサブモジュールの共通集合です)。このとき、集合 Γ はM を生成すると言われます。たとえば、環R は、単位元 1 によって、それ自身の左Rモジュールとして生成されます。有限生成集合がある場合、モジュールは有限生成であると言われます。

これは、環自体のサブモジュールであるイデアルに適用されます。特に、主イデアルは、単一の要素からなる生成集合を持つイデアルです。

明示的には、 Γ がモジュールMの生成集合である場合、Mのすべての要素はΓ のいくつかの要素の（有限の）R線型結合である。つまり、 Mの各xに対して、 Rにはr ₁ , ..., r _mがあり、 Γ にはg ₁ , ..., g _{m が}あり、

${\displaystyle x=r_{1}g_{1}+\cdots +r_{m}g_{m}.}$

言い換えれば、射影が存在する

${\displaystyle \bigoplus _{g\in \Gamma }R\to M,\,r_{g}\mapsto r_{g}g,}$

ここで、直和のg番目の要素の元をr _{g と}書きました。(偶然にも、生成集合 (たとえばM自体) は常に存在するため、これはモジュールが自由モジュールの商であることを示しており、これは便利な事実です。)

モジュールの生成集合は、その集合のいかなる真部分集合もそのモジュールを生成しない場合には極小であるという。Rが体の場合、極小生成集合は基底と同じものである。モジュールが有限生成でない限り、極小生成集合は存在しない可能性がある。^[1]

最小生成集合の濃度は、モジュールの不変量である必要はありません。Z は1によって主イデアルとして生成されますが、たとえば、最小生成集合{2, 3 } によっても生成されます。モジュールによって一意に決定されるのは、モジュールの生成元の数の 下限です。

R を極大イデアルmと剰余体kを持つ局所環とし、Mを有限生成加群とします。このとき、中山の補題によれば、Mには濃度が である極小生成集合があります。Mが平坦の場合、この極小生成集合は線型独立です(したがってM は自由です)。極小解決も参照してください。 ${\displaystyle \dim _{k}M/mM=\dim _{k}M\otimes _{R}k}$

ジェネレータ間の関係を考慮すると、より詳細な情報が得られます。モジュールの自由な表示を参照してください。

• 可算生成モジュール
• フラットモジュール
• 不変基底数

• ダミット、デイビッド; フット、リチャード。抽象代数。