冪等性（環理論）

数学の一分野である環論において、環のべき等元（べきじげんもと）あるいは単にべき等とは、 a ² = aとなる元aのことである。^{[1] [a]}つまり、元は環の乗法についてべき等である。また、帰納的に、任意の正の整数nについて、 a = a ² = a ³ = a ⁴ = ... = a ⁿであると結論付けることもできる。たとえば、行列環のべき等元は、まさにべき等行列である。

一般の環の場合、乗法に関して冪等な元は加群の分解に関係し、環のホモロジー的性質と結びついています。ブール代数では、すべての元が加算と乗法の両方に関して冪等である環が主な研究対象です。

nを法とする整数環（ nは平方数でない）を考える。中国剰余定理により、この環はpを法とする整数 環の積に因数分解される（pは素数）。ここで、これらの因数はそれぞれ体であるため、因数のべき等性が0と1 のみであることは明らかである。つまり、各因数には 2 つのべき等性がある。したがって、因数がm個ある場合、べき等性は2 ^m個あることになる。

これを6 を法とする整数R = Z / 6 Zで確認できます。6 には 2 つの素因数 ( 2と3 ) があるため、 2 ²のべき等性があるはずです。

0 ² ≡ 0 ≡ 0 (6を法として)

1 ² ≡ 1 ≡ 1 (6 を法として)

2 ² ≡ 4 ≡ 4 (6 を法として)

3 ² ≡ 9 ≡ 3 (6 で割る)

4 ² ≡ 16 ≡ 4 (6 で割る)

5 ² ≡ 25 ≡ 1 (6 で割る)

これらの計算から、0、1、3、および4 はこの環のべき等元ですが、2と5 はそうではありません。これは、以下に説明する分解特性も示しています。3 + 4 ≡ 1 (mod 6)であるため、環分解3 Z / 6 Z ⊕ 4 Z / 6 Zが存在します。3 Z / 6 Zでは乗法恒等元は3 + 6 Zであり、 4 Z / 6 Zでは乗法恒等元は4 + 6 Zです。

環Rと元f ∈ Rであってf ² ≠ 0であるものが与えられたとき、商環

R / ( f ² − f )

はfがべき等性を持つ。例えば、これはx ∈ Z [ x ]や任意の多項式 f ∈ k [ x ₁ , ..., x _n ]に適用できる。

分割四元数の環には冪等元環が存在する。分割四元数は実数代数の構造を持つため、要素は基底{1, i, j, k}上でw + x i + y j + z kと表すことができ、j ² = k ² = +1となる。任意のθについて、

${\displaystyle s=j\cos \theta +k\sin \theta }$jとkは反交換法則を満たすので、 s ² = +1を満たす。

${\displaystyle ({\frac {1+s}{2}})^{2}={\frac {1+2s+s^{2}}{4}}={\frac {1+s}{2}},}$べき等性プロパティ。

要素sは双曲単位と呼ばれ、これまで i 座標はゼロとされてきました。この座標がゼロでない場合、分割四元数には双曲単位の1 枚の双曲面が存在します。同じ等式は、 s が双曲面上にある 場合の冪等性特性を示しています。${\displaystyle {\frac {1+s}{2}}}$

重要な冪等性のタイプの一部を以下に示します。

• 2 つのべき等元aとb は、 ab = ba = 0 のとき直交しているといいます。a が環R内でべき等元である場合(単位元)、b = 1 − a もべき等元です。さらに、aとb は直交しています。
• R内のべき等性を持つa は、 R内のすべてのxに対してax = xa が成り立つ場合、つまりa がRの中心にある場合、中心べき等性を持つと呼ばれます。
• 単純なべき等性とは、常にべき等である要素0と1のいずれかを指します。
• 環Rの原始冪等性とは、 aR が右R加群として分解不可能な非ゼロ冪等性aである。つまり、aR が2 つの非ゼロ部分加群の直和ではない。同様に、 a がa = e + fと表記できない場合、 aは原始冪等性である。ここで、eとfはR内の非ゼロ直交冪等性である。
• 局所冪等性とは、 aRaが局所環となるような冪等性aのことです。これは、aR が直接分解不可能であることを意味するため、局所冪等性もプリミティブです。
• 右既約冪等性とは、 aR が単純加群となる冪等性aのことです。Schurの補題により、End _R ( aR ) = aRa は除算環であり、したがって局所環であるため、右 (および左) 既約冪等性は局所的です。
• 中心原始冪等性とは、2 つのゼロ以外の直交中心冪等性の和として記述できない中心冪等性aです。
• 商環R / Iのべき等元a + IがI を法として持ち上げられるとするには、 Rにべき等元bが存在し、b + I = a + Iである必要があります。
• Rのべき等性a は、 RaR = Rの場合、完全べき等性と呼ばれます。
• 分離可能性はべき等です。分離可能代数を参照してください。

任意の非自明なべき等元a は零因子です（なぜならab = 0であり、aもbも零ではないため、b = 1 − a ）。これは、整域と分割環にはそのようなべき等元がないことを示しています。局所環にもそのようなべき等元はありませんが、理由は異なります。環のヤコブソン根号に含まれる唯一のべき等元は0です。

• すべての要素がべき等である環はブール環と呼ばれます。一部の著者は、このタイプの環を「べき等環」という用語で呼んでいます。このような環では、乗算は可換であり、すべての要素はそれ自身の加法逆数です。
• 環が半単純であるためには、すべての右イデアル (またはすべての左イデアル)がべき等性によって生成される必要があります。
• 環がフォン・ノイマン正則となるのは、すべての有限生成右イデアル (またはすべての有限生成左イデアル) が冪等元によって生成される場合のみです。
• Rのすべての部分集合Sがべき等元によって生成される消滅子 r .Ann( S )となる環は、ベール環と呼ばれます。条件がRのすべての単独部分集合に対してのみ成り立つ場合、環は右リカート環です。これらの両方のタイプの環は、乗法的単位元がない場合でも興味深いものです。
• すべてのべき等元が中心となる環はアーベル環と呼ばれます。このような環は可換である必要はありません。
• 環が直接既約となるのは、 0と1 が唯一の中心冪等である場合のみです。
• 環R は、 R が半完全環である場合に限り、各e _{i が}局所冪等である状態でe ₁ R ⊕ e ₂ R ⊕ ... ⊕ e _n Rと表記できます。
• Rのすべてのべき等元がJacobson 根号を法として持ち上げられる場合、その環はSBI 環またはLift/rad環と呼ばれます。
• 環が右直和項の昇順連鎖条件を満たすのは、すべての直交べき等集合が有限である場合に限り、環が左直和項の降順連鎖条件を満たす場合です。
• a が環Rで冪等である場合、aRa は再び環となり、乗法単位元aを持つ。環aRaはしばしばRのコーナー環と呼ばれる。コーナー環は、自己準同型環End _R ( aR ) ≅ aRaから自然に生じる。

Rのべき等性はR加群の分解と重要な関係がある。M が R 加群で E = End R ( M ) がその自己準同型環である場合、A ⊕ B = M_となる必要十分条件は、Eに一意のべき等性eが存在し、 A = eMかつB = (1 − e ) Mとなることである。したがって、Mが直接分解不可能となる必要十分条件は、 Eに0と1 だけがべき等性である場合である。^[2]

M = R （ユニタルと仮定）の場合、自己準同型環End _R ( R ) = Rとなり、各自己準同型は固定された環元による左乗算として生じる。この表記法の修正により、右加群としてのA ⊕ B = Rが成り立つのは、 eR = Aかつ(1 − e ) R = Bとなる一意のべき等元e が存在する場合のみである。したがって、 Rのすべての直和項はべき等元によって生成される。

a が中心冪等である場合、コーナー環aRa = Ra は乗法的単位元aを持つ環です。冪等性がモジュールとしてのRの直接分解を決定するのと同じように、 Rの中心冪等性は環の直和としてのRの分解を決定します。Rが環R ₁、...、R _nの直和である場合、環R _iの単位元はRの中心冪等性であり、対直交し、それらの和は1です。逆に、Rの中心冪等性a ₁、...、an_が対直交し、和が1である場合、Rは環Ra ₁、...、Ra _nの直和です。したがって特に、Rのすべての中心冪等性a は、コーナー環aRaと(1 − a ) R (1 − a )の直和としてのRの分解を生じます。その結果、環R は、恒等式1が中心原始的である場合に限り、環として直接分解不可能になります。

帰納的に作業すると、1 を中心原始元の和に分解することができます。1 が中心原始的であれば、これで終わりです。そうでない場合は、中心直交べき等元の和であり、その中心直交べき等元は原始的であるか、またはより多くの中心べき等元の和であり、以下同様に続きます。発生する可能性のある問題は、これが際限なく続く可能性があり、中心直交べき等元の無限の族が生成されることです。「Rには中心直交べき等元の無限集合が含まれない」という条件は、環の有限性条件の一種です。これは、環が右ノイザンであることを要求するなど、さまざまな方法で達成できます。分解R = c ₁ R ⊕ c ₂ R ⊕ ... ⊕ c _n Rが存在し、各c _{i が}中心原始冪等である場合、R は角環c _i Rc _iの直和であり、各角環は環既約である。^[3]

体上の結合代数またはジョルダン代数の場合、パース分解は、可換な冪等元の固有空間の和としての代数の分解です。

a が自己準同型環End _R ( M )の冪等である場合、自己準同型f = 1 − 2 aはMのR加群反転である。つまり、f はR加群準同型であり、f ^{2 は}Mの恒等自己準同型である。

Rの冪等元aとそれに関連する反転fは、 R を左または右のモジュールとして見るかによって、モジュールRの 2 つの反転を生じます。 r がRの任意の元を表す場合、f は右Rモジュール準同型r ↦ frと見なすことができ、ffr = rとなります。または、fは左Rモジュール準同型r ↦ rfと見なすこともできます。ここで、rff = rとなります。

このプロセスは、 2 がRの可逆な元である場合に逆順に実行できます。^[b] bが反転である場合、 2 ⁻¹ (1 − b )と2 ⁻¹ (1 + b )は直交冪等であり、aと1 − aに対応します。したがって、 2が可逆な環の場合、冪等元は反転に 1 対 1 で 対応します。

冪等性を持ち上げることは、 R加群のカテゴリにも大きな影響を及ぼします。すべての冪等性がI を法として持ち上げられるのは、 R / IのすべてのR直和がR加群として射影被覆を持つ場合のみです。^{[4]冪等性は常に、} RがI進完全であるようなイデアルと環を法としてnil を持ち上げます。

持ち上げは、 Rのヤコブソン根号であるI = J( R )のときに最も重要になります。半完全環のもう1つの特徴は、それらがJ( R )を法として持ち上げられる冪等元を持つ半局所環であるということです。^[5]

環のべき等性に関する半順序を次のように定義できる。 aとbがべき等性である場合、a ≤ bはab = ba = a のときのみと書く。この順序に関して、0 が最小のべき等性で、1 が最大のべき等性である。直交べき等性aとbの場合、a + bもべき等性であり、a ≤ a + bかつb ≤ a + bとなる。この半順序の原子はまさに原始べき等性である。^[6]

上記の半順序をRの中心冪等性に制限すると、格子構造、あるいはブール代数構造を与えることができる。2つの中心冪等性eとfの場合、補集合は次のように与えられる 。

¬ e = 1 − e、

会合は​

e∧f = efです。​

そして結合は次のように与えられる。

e ∨ f = ¬(¬ e ∧ ¬ f ) = e + f − ef

順序付けは、eR ⊆ f R の場合に限り、e ≤ fとなり、join と meet は( e ∨ f ) R = eR + f Rかつ( e ∧ f ) R = eR ∩ f R = ( eR )( f R )を満たします。Goodearl 1991、p. 99 では、 R がフォン・ノイマン正則かつ右自己入射的である場合、格子は完全格子であることが示されています。