バランスモジュール

抽象代数のサブフィールドである加群理論において、右R加群M は、 Mのすべての R 自己準同型と可換なアーベル群 M のすべての自己準同型が環元による乗算で与えられるとき、平衡加群と呼ばれます（または二重中心化特性を持つと言われています）。明示的には、任意の加法自己準同型fについて、すべてのR自己準同型gについてfg  =  gfであれば、 Mのすべてのxについてf ( x ) =  xrとなるようなRのr が存在します。非平衡加群の場合は、このように表現できない fが存在することになります。

中心化子の言語では、平衡加群は二重中心化子定理の結論を満たす加群であり、つまり、群MのすべてのR自己準同型と可換な群Mの自己準同型は、環元による右乗法によって誘導されるものだけである。

すべての右Rモジュールがバランスしている場合、リングはバランスが取れていると呼ばれます。 ^[1]バランスが取れているということは、リング上の左右対称条件であることが判明しているため、接頭辞に「左」または「右」を付ける必要はありません。

バランスモジュールとリングの研究は、 CJ NesbittとRM ThrallによるQF-1 リングの研究から派生したものです。この研究は VP Camillo の博士論文に引き継がれ、後に完全に発展しました。この論文 (Dlab & Ringel 1972) は、多くの例を挙げて特に幅広い視点を示しています。これらの参考文献に加えて、K. Moritaと H. Tachikawa も、発表済みおよび未発表の結果を提供しています。バランスモジュールとリングの理論に貢献した著者の一部のリストは、参考文献に記載されています。

例

• 半単純リングはバランスが取れている。^[2]
• 単純環上のすべての非零右イデアルは平衡状態にある。^[3]
• 準フロベニウス環上の忠実な加群はすべてバランスが取れている。^[4]
• 右アルティニアン環の二重中心化定理は、任意の単純な右R加群がバランスが取れていることを述べています。
• 論文 (Dlab & Ringel 1972) には、非平衡モジュールの構成が多数含まれています。
• （Nesbitt & Thrall 1946）では、ユニシリアル環はバランスが取れていることが確立されました。逆に、バランスの取れた環が中心上の加群として有限生成される場合、ユニシリアル環となります。^[5]
• 可換アルティン環のうち、平衡環はまさに準フロベニウス環である。^[6]

プロパティ

• 「バランスが取れている」ということは、モジュールのカテゴリ特性であり、つまり、森田同値によって保持されます。明示的には、F (–) がRモジュールのカテゴリからSモジュールのカテゴリへの森田同値であり、Mがバランスが取れている場合、F ( M ) はバランスが取れています。
• バランスのとれたリングの構造も (Dlab & Ringel 1972) で完全に決定されており、 (Faith 1999、pp. 222–224) に概説されています。
• 最後の点を考慮すると、バランスの取れた環であるという性質は、森田不変量の性質です。
• どの環が有限生成右R加群をすべてバランスさせているかという問いにはすでに答えが出ている。この条件は環Rがバランスしていることと同値であることが判明した。^[7]

• カミロ、ビクター P. (1970)、「バランスリングと Thrall の問題」、Trans. Amer. Math. Soc.、149 : 143–153、doi : 10.1090/s0002-9947-1970-0260794-0、ISSN  0002-9947、MR  0260794

• ブルバキ、ニコラ (1973)、アルジェブル、Ch. 8: モジュールとアノーのセミシンプル、p. 50、ISBN 978-2-7056-1261-0

• カミロ, VP; フラー, KR (1972)、「バランス型および QF-1 代数」、Proc. Amer. Math. Soc.、34 (2): 373–378、doi : 10.1090/s0002-9939-1972-0306256-0、ISSN  0002-9939、MR  0306256

• カニンガム、RS; ラター、EA Jr. (1972)、「二重中心化特性はカテゴリカルである」、ロッキーマウンテンJ.数学、2 (4): 627–629、doi : 10.1216/rmj-1972-2-4-627、ISSN  0035-7596、MR  0310017

• Dlab, Vlastimil; Ringel, Claus Michael (1972)、「二重中心化特性を持つリング」、J. Algebra、22 (3): 480–501、doi : 10.1016/0021-8693(72)90163-9、ISSN  0021-8693、MR  0306258

• フェイス、カール (1999)、「リングと物と20世紀の連想代数の素晴らしい配列」、数学調査とモノグラフ、第65巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会、pp. xxxiv+422、ISBN 0-8218-0993-8、MR  1657671
• ラム、TY (2001)、非可換環の初歩、Graduate Texts in Mathematics、vol. 131 (2 ed.)、ニューヨーク：Springer-Verlag、pp. xx+385、doi :10.1007/978-1-4419-8616-0、ISBN 0-387-95183-0、MR  1838439
• ネスビット、CJ; スロール、RM (1946)、「モジュラー表現への応用を伴ういくつかの環定理」、数学年報、2、47 ( 3): 551–567、doi :10.2307/1969092、ISSN  0003-486X、JSTOR  1969092、MR  0016760