蛇の補題

スネーク補題は数学、特にホモロジー代数で長い完全列を構築するために使われるツールです。スネーク補題はあらゆるアーベル圏で有効であり、ホモロジー代数や代数位相幾何学などのその応用において重要なツールです。この補題を使って構築された準同型は一般に接続準同型と呼ばれます。

アーベル圏（アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など）において、可換図式を考える。

ここで、行は正確なシーケンスであり、 0 はゼロオブジェクトです。

すると、 a、b、cの核と余核を関連付ける正確なシーケンスが存在します。

${\displaystyle \ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker c~{\overset {d}{\longrightarrow }}~\operatorname {coker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c}$

ここで、d は準同型であり、接続準同型として知られています。

さらに、射f が単射であれば、射 も単射 であり、g' がエピモーフィズムであれば、射 も単射 である。 ${\displaystyle \ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b}$${\displaystyle \operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c}$

ここでのコカーネルは、、、です 。${\displaystyle \operatorname {coker} a=A'/\operatorname {im} a}$${\displaystyle \operatorname {coker} b=B'/\operatorname {im} b}$${\displaystyle \operatorname {coker} c=C'/\operatorname {im} c}$

蛇の補題の名前の由来を確認するには、上の図を次のように展開します。

そして、この展開された図の上に、補題の結論となる正確なシーケンスを、蛇が這う逆「S」字型に描くことができます。

核間の写像と余核間の写像は、図の可換性により、与えられた（水平）写像によって自然に誘導されます。誘導された 2 つのシーケンスの正確性は、元の図の行の正確性から直接得られます。補題の重要な記述は、正確なシーケンスを完成させる接続準同型写像 d が存在することです。

ある環上のアーベル群または加群の場合、写像d は次のように構築できます。

ker  cの元x を選び、それをCの元として見ます。g は全射なので、g ( y ) = xとなるBのy が存在します。図の可換性により、g' ( b ( y )) = c ( g ( y )) = c ( x ) = 0 となり ( xはcの核内にあるため)、したがってb ( y ) はg'の核内にあります。一番下の行は正確なので、 f  '( z ) = b ( y )となるA'の元z が見つかります。z はf 'の単射性により一意です 。次に、d ( x ) = z + im ( a ) と定義します。ここで、dが適切に定義されていること (つまり、d ( x ) はxのみに依存し、 yの選択には依存しないこと)、準同型であること、および結果として得られる長いシーケンスが実際に正確であることを確認する必要があります。ダイアグラム追跡によって正確さを定期的に検証することができる（ ^[1]の補題9.1の証明を参照）。

それが完了すると、定理はアーベル群または環上の加群に対して証明されます。一般的なケースでは、議論は、要素ではなく矢印と相殺の特性の観点から言い換えることができます。あるいは、ミッチェルの埋め込み定理を呼び出すこともできます。

応用においては、長い完全列が「自然」であることを示す必要がある場合が多い（自然変換の意味で）。これは、スネーク補題によって生成される列の自然さから導かれる。

もし

が正確な行を持つ可換図式である場合、蛇の補題は「前」と「後」に2回適用でき、2つの長い正確な列が得られます。これらは、次の形式の可換図式によって関連付けられます。

を体、を-ベクトル空間とします。は-線型変換によって -加群となるため、およびを に対してテンソル化できます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k[t]}$${\displaystyle t:V\to V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k[t]}$

${\displaystyle V\otimes _{k[t]}k=V\otimes _{k[t]}(k[t]/(t))=V/tV=\operatorname {coker} (t).}$

-ベクトル空間の短い完全列が与えられれば、テンソル積の正しい正確さによって完全列を誘導することができます。しかし、その列は一般には正確ではありません。したがって、当然の疑問が生じます。なぜこの列は正確ではないのでしょうか? ${\displaystyle k}$${\displaystyle 0\to M\to N\to P\to 0}$${\displaystyle M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$${\displaystyle 0\to M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$

上の図によると、スネーク補題を適用することで正確なシーケンスを誘導できます。つまり、スネーク補題はテンソル積が正確ではないことを反映しています。 ${\displaystyle \ker(t_{M})\to \ker(t_{N})\to \ker(t_{P})\to M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$

群のカテゴリでスネーク補題が成り立つかどうかは、余核の定義に依存します。 が群の準同型である場合、余核の普遍的性質は、自然な写像 によって満たされます。ここで、 はの像の正規化です。 余核の次の定義では、スネーク補題は成立しません。接続準同型は依然として定義でき、スネーク補題のステートメントのようにシーケンスを記述できます。これは常に連鎖複体になりますが、正確ではない可能性があります。 ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle B\to B/N(\operatorname {im} f)}$${\displaystyle N(\operatorname {im} f)}$${\displaystyle f}$

蛇の補題のステートメントの余核を（右）余類 に単純に置き換えた場合でも、補題は有効です。ただし、商はグループではなく、尖端集合です（ の場合、写像とを持つ尖端集合の短いシーケンスは正確と呼ばれます）。 ${\displaystyle A'/\operatorname {im} a,B'/\operatorname {im} b,C'/\operatorname {im} c'}$${\displaystyle (X,x)\to (Y,y)\to (Z,z)}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle f(X)=g^{-1}(z)}$

交代群 を考えてみましょう。これには対称群と同型な部分群 が含まれており、これは巡回群の半直積として表すことができます。^[2]これにより、正確な行を持つ次の図が得られます。 ${\displaystyle A_{5}}$ ${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle S_{3}\simeq C_{3}\rtimes C_{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&1&\to &C_{3}&\to &C_{3}&\to 1\\&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1\to &1&\to &S_{3}&\to &A_{5}\end{matrix}}}$

中央の列は正確ではないことに注意してください。半直積の正規部分群ではありません。 ${\displaystyle C_{2}}$

は単純であるため、右垂直矢印は自明な余核を持つ。一方、商群はと同型である。したがって、蛇の補題のステートメントのシーケンスは次のようになる。 ${\displaystyle A_{5}}$${\displaystyle S_{3}/C_{3}}$${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle 1\longrightarrow 1\longrightarrow 1\longrightarrow 1\longrightarrow C_{2}\longrightarrow 1}$、

確かにそれは正確ではありません。

蛇の補題の証明は、 1980年の映画「It's My Turn」の冒頭でジル・クレイバーグの演じる登場人物によって教えられる。^[3]

• ジグザグ補題

• Weisstein、Eric W.「Snake Lemma」。MathWorld。
• PlanetMathの Snake Lemma
• 映画「It's My Turn」における蛇の補題の証明