局所化（可換代数）

可換代数と代数幾何学において、局所化は、与えられた環またはモジュールに「分母」を導入する正式な方法です。つまり、既存の環/モジュールRから新しい環/モジュールを導入し、分母s がRの与えられた部分集合Sに属するような分数 で構成されるようにします。S が整域の非ゼロ元の集合である場合、局所化は分数の体です。この場合は、整数の環から有理数の体を構築することを一般化します。 ${\displaystyle {\frac {m}{s}},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

この手法は、層理論への自然なつながりを提供するため、特に代数幾何学において基本的なものとなっています。実際、局所化という用語は代数幾何学に由来しています。Rが何らかの幾何学的対象 (代数多様体) V上で定義された関数の環であり、この多様体を点p の近くで「局所的に」調べたい場合は、 pでゼロではないすべての関数の集合S を検討し、R をSに関して局所化します。結果として得られる環には、p の近くでのVの振る舞いに関する情報が含まれ、 V の外側にある関数のゼロなどの「局所的」ではない情報は除外されます(局所環で示されている例を参照)。 ${\displaystyle S^{-1}R}$

可換環 R の乗法的に閉じた集合 Sによる局所化は、分子がRにあり分母がSにある分数を要素とする新しい環です。 ${\displaystyle S^{-1}R}$

環が整域である場合、構成は分数体の構成、特に有理数を整数の分数体として構成したものに一般化され、密接に従います。零因子を持つ環の場合、構成は同様ですが、より注意が必要です。

局所化は、通常、環Rの元の乗法的に閉じた集合 S (乗法集合または乗法システムとも呼ばれる)に関して行われます。乗法に関して閉じたRの部分集合であり、1 を含みます。

S が乗法集合でなければならないという要件は、局所化によって導入されるすべての分母がSに属することを意味するため、自然です。乗法的に閉じていない集合Uによる局所化も、 Uの要素のすべての積を可能な分母としてとることで定義できます。ただし、 Uの要素のすべての積の乗法的に閉じた集合S を使用しても同じ局所化が得られます。これにより推論と表記が簡単になることが多いため、乗法集合による局所化のみを考慮するのが標準的な方法です。

たとえば、単一の要素sによる局所化は、形式の分数を導入するだけでなく、 などの分数の積も導入 します。したがって、分母はsの累乗の乗法セットに属します。したがって、一般に「要素による局所化」ではなく「要素の累乗による局所化」と呼ばれます。 ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}},}$${\displaystyle {\tfrac {ab}{s^{2}}}.}$${\displaystyle \{1,s,s^{2},s^{3},\ldots \}}$

環Rの乗法集合Sによる局所化は一般に と表記されるが、特殊な場合には他の表記法が用いられることが多い。 が単一の元のべき乗からなる場合、は と表記されることが多い。が素イデアルの補集合である場合、 は と表記される。${\displaystyle S^{-1}R,}$${\displaystyle S=\{1,t,t^{2},\ldots \}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R_{t};}$${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$

この記事の残りの部分では、乗法セットによるローカリゼーションのみを検討します。

環Rが整域であり、S が0 を含まないとき、環はRの分数体の部分環である。したがって、領域の局所化は領域である。 ${\displaystyle S^{-1}R}$

より正確には、Rの分数体の部分環で、次の分数から構成されます。の 2 つの元の和と積が に含まれるため、これは部分環です。これは乗法集合の定義特性から生じ、次のことも示します。この場合、Rは の部分環です。以下に示すように、一般には、特にS にゼロ個の約数が含まれる場合は、これは当てはまりません。 ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}}$${\displaystyle s\in S.}$${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}+{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {at+bs}{st}},}$${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}\,{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {ab}{st}}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}R.}$${\displaystyle 1={\tfrac {1}{1}}\in S^{-1}R.}$${\displaystyle S^{-1}R.}$

たとえば、小数は、 10 の累乗の乗法セットによる整数の環の局所化です。この場合、 は、nが整数、kが負でない整数 として記述できる有理数で構成されます。${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle {\tfrac {n}{10^{k}}},}$

一般的なケースでは、零因子に関する問題が生じます。Sを可換環Rの乗法集合とします。および が の零因子であると仮定します。すると はの像であり、 が成り立ちます。したがって、 Rの非零元の中には において零であるものがある必要があります。次の構成は、これを考慮に入れるために設計されています。 ${\displaystyle s\in S,}$${\displaystyle 0\neq a\in R}$${\displaystyle 0.}$${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle a\in R,}$${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {as}{s}}={\tfrac {0}{s}}={\tfrac {0}{1}}.}$${\displaystyle S^{-1}R.}$

上記のようにRとSが与えられている場合、次のように定義される同値関係を考える。${\displaystyle R\times S}$${\displaystyle (r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})}$${\displaystyle t\in S}$${\displaystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$

局所化は、この関係の同値類の集合として定義されます。 ( r , s )の類は、またはとして表されます。したがって、が存在する場合のみ となります。の理由は、分数が等しいとみなされる場合でも がゼロでない 上記のようなケースを処理するためです。${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle {\frac {r}{s}},}$ ${\displaystyle r/s,}$${\displaystyle s^{-1}r.}$${\displaystyle {\tfrac {r_{1}}{s_{1}}}={\tfrac {r_{2}}{s_{2}}}}$${\displaystyle t\in S}$${\displaystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {0}{1}},}$${\displaystyle s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1}}$

局所化は可換環であり、加法 ${\displaystyle S^{-1}R}$

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}},}$

乗算

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}\,{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2}}},}$

加法的恒等式 と乗法的恒等式${\displaystyle {\tfrac {0}{1}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}.}$

機能​

${\displaystyle r\mapsto {\frac {r}{1}}}$

は、 S が零因子を含まない ときに限り、 Sから への環準同型が単射であることを定義します。${\displaystyle R}$${\displaystyle S^{-1}R,}$

の場合、 は0 を一意の要素として持つゼロ環です。 ${\displaystyle 0\in S,}$${\displaystyle S^{-1}R}$

S がRのすべての正則元（つまり零因子ではない元）の集合である場合、 はRの分数の全環と呼ばれます。 ${\displaystyle S^{-1}R}$

(上で定義した) 環準同型は、以下に説明する普遍的性質を満たします。これは、同型までを特徴付けます。したがって、局所化のすべての性質は、それらが構築された方法とは関係なく、普遍的性質から演繹できます。さらに、局所化の多くの重要な性質は、普遍的性質の一般的な性質から簡単に演繹できますが、それらの直接的な証明はより技術的である可能性があります。 ${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}R}$

が満たす普遍的性質は次のとおりです。 ${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$

がSのすべての元をTの単位元（可逆元）に写す環準同型である場合 、次のような唯一の環準同型が存在する。${\displaystyle f\colon R\to T}$${\displaystyle g\colon S^{-1}R\to T}$${\displaystyle f=g\circ j.}$

圏論を用いると、これは局所化が忘却関手に左随伴する関手であると表現できる。より正確には、およびを、それぞれ可換環と乗法モノイドまたはその環の単位群のサブモノイドのペアをオブジェクトとする圏とする。これらの圏の射は、最初のオブジェクトのサブモノイドを 2 番目のオブジェクトのサブモノイドに写す環準同型である。最後に、を、ペアの 2 番目の要素の要素が可逆であることを忘れる忘却関手とする。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$

そして普遍性の 因数分解は一対一表現を定義する。${\displaystyle f=g\circ j}$

${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}((R,S),{\mathcal {F}}(T,U))\to \hom _{\mathcal {D}}((S^{-1}R,j(S)),(T,U)).}$

これは普遍的性質を表現する方法としてはかなりトリッキーに思えるかもしれませんが、2 つの左随伴関数の合成が左随伴関数であるという事実を利用して、多くの性質を簡単に示すのに役立ちます。

• が整数環である場合、は有理数体です。${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$${\displaystyle S=\mathbb {Z} \setminus \{0\},}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Rが整域である場合、はRの分数体です。前の例は、この例の特殊なケースです。${\displaystyle S=R\setminus \{0\},}$${\displaystyle S^{-1}R}$
• R が可換環であり、S がその零因子でない元の部分集合である場合、 はRの分数の全環です。この場合、S は準同型が単射となる最大の乗法集合です。前の例は、この例の特殊なケースです。${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• が可換環Rの元である場合、 は同一視できます (と標準同型です) (証明では、この環が上記の普遍的性質を満たすことを示します)。この種の局所化は、アフィン スキームの定義において基本的な役割を果たします。${\displaystyle x}$${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},\ldots \},}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R[x^{-1}]=R[s]/(xs-1).}$
• が可換環Rの素イデアルである場合、Rにおけるの補集合は乗法集合である (素イデアルの定義による)。 環は局所環であり、一般に におけるRの局所環と表記され、局所環と呼ばれる。この種の局所化は可換代数において基本的である。なぜなら、可換環の多くの特性はその局所環上で読み取ることができるからである。 このような特性はしばしば局所特性と呼ばれる。 たとえば、環が正則であるための必要十分条件は、そのすべての局所環が正則である場合である。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$

局所化は、多くの有用な特性を持つ豊かな構成です。このセクションでは、環と単一の局所化に関連する特性のみを考慮します。イデアル、モジュール、または複数の乗法集合に関する特性は、他のセクションで考慮されます。

• ${\displaystyle S^{-1}R=0}$ Sに0 が含まれる場合のみ。
• 環準同型が単射となるのは、 S が零因子を含まない場合のみです。${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• 環準同型は環のカテゴリにおけるエピモロジーであり、一般には射影的ではありません。${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• 環は平坦なR加群である（詳細は§ 加群の局所化を参照）。${\displaystyle S^{-1}R}$
• が素イデアル の補集合である場合、 は局所環と表されます。つまり、 には最大イデアル が1 つだけ存在します。${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle S^{-1}R,}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$

別のセクションに移動するプロパティ

• 局所化は有限和、積、交差、根号の形成と可換である。^[1]例えば、イデアルIのRにおける根号をと表記すると、${\displaystyle {\sqrt {I}}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}\cdot S^{-1}R={\sqrt {I\cdot S^{-1}R}}\,.}$

特に、Rが簡約されるのは、その分数環全体が簡約される場合に限ります。^[2]

• R を分数体Kの整域とする。その素イデアルへの局所化はKの部分環として見ることができる。さらに、${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle R=\bigcap _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}}$

ここで最初の交差点はすべての素イデアル上で交差し、2番目の交差点は最大イデアル上で交差する。^[3]

• S ⁻¹ Rの素イデアルの集合と、 Sと交わらないRの素イデアルの集合の間には一対一の関係があります。この一対一の関係は、与えられた準同型R → S  ⁻¹ Rによって誘導されます。

を乗法集合とする。の飽和は集合 ${\displaystyle S\subseteq R}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\hat {S}}=\{r\in R\colon \exists s\in R,rs\in S\}.}$

乗法集合Sが飽和であるとは、それがその飽和度に等しい場合、つまり の場合、または同等に の場合、 rとs がSに含まれることを意味します。 ${\displaystyle {\hat {S}}=S}$${\displaystyle rs\in S}$

Sが飽和でない場合、はrの像の逆元となるので、 の元の像はすべて において可逆であり、普遍的性質はと が正準同型であることを意味します。つまり、 と の間には、 Rの元の像を固定する一意の同型が存在します。 ${\displaystyle rs\in S,}$${\displaystyle {\frac {s}{rs}}}$${\displaystyle S^{-1}R.}$${\displaystyle {\hat {S}}}$${\displaystyle S^{-1}R,}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle {\hat {S}}{}^{-1}R}$

SとT が2 つの乗法集合である場合、と が同じ飽和度を持つときに限り、は同型です。または、同等に、 s が乗法集合の 1 つに属する場合、st が他の乗法集合に属する ような が存在します。${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle T^{-1}R}$${\displaystyle t\in R}$

飽和乗法集合は、集合が飽和していることを確認するために環の すべての 単位を知る必要があるため、明示的に広く使用されていません。

局所化という用語は、幾何学的および位相的対象を局所的に、つまり各点付近でのそれらの動作の観点から研究するという現代数学の一般的な傾向に由来しています。この傾向の例には、多様体、芽、層という基本概念があります。代数幾何学では、アフィン代数集合は、代数集合の点が環の極大イデアルに対応するように、多項式環の商環と同一視できます(これはヒルベルトの零点定理です)。この対応は、可換環の素イデアルの集合をザリスキー位相を備えた位相空間にするために一般化されました。この位相空間は、環のスペクトルと呼ばれます。

この文脈では、乗法集合による局所化は、環のスペクトルを、乗法集合と交差しない 素イデアル（点として見られる）の部分空間に制限することとして見ることができます。

一般的には、次の 2 つのクラスのローカリゼーションが考えられます。

• 乗法集合は、環Rの素イデアルの補集合です。この場合、「 における局所化」または「点における局所化」と呼ばれます。結果として得られる環 は局所環と表記され、胚の環の代数的類似体です。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$
• 乗法集合は、環Rの元tのすべての累乗から構成されます。結果として得られる環は一般に と表記され、そのスペクトルはtを含まない素イデアルのザリスキ開集合です。したがって、局所化は、位相空間を点の近傍に制限することの類似物です (すべての素イデアルには、この形式のザリスキ開集合からなる近傍基底があります)。${\displaystyle R_{t},}$

数論と代数的位相幾何学では、整数の環を扱うときに、整数nに関する性質を、考慮される局所化に応じて、nで真であるかnから離れて真であるかという性質として参照します。「 nから離れて」とは、性質がnの累乗で局所化した後に考慮されることを意味し、pが素数の場合、「pで」とは、性質が素イデアルで局所化した後に考慮されることを意味します。この用語は、 pが素数の場合、 の局所化の非ゼロの素イデアルが、素数の集合における 単独集合{p}またはその補集合のいずれかであるという事実によって説明できます。${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

S を可換環Rの乗法集合とし、 を標準環準同型とする。 R のイデアル I が与えられたとき、分子がIに含まれる分数の集合とする。これはj ( I )によって生成されるイデアルであり、SによるIの局所化と呼ばれる。 ${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}I}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}R,}$

IのSによる飽和はRのイデアルであり、これは存在する元の集合としても定義できます。${\displaystyle j^{-1}(S^{-1}I);}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle sr\in I.}$

イデアルの多くの性質は、飽和と局所化によって保存されるか、または局所化と飽和のより単純な性質によって特徴付けられる。以下では、S は環Rの乗法集合であり、IとJはRのイデアルである。乗法集合SによるイデアルIの飽和は、または乗法集合S が文脈から明らかな場合は、次のように表される。${\displaystyle \operatorname {sat} _{S}(I),}$${\displaystyle \operatorname {sat} (I).}$

• ${\displaystyle 1\in S^{-1}I\quad \iff \quad 1\in \operatorname {sat} (I)\quad \iff \quad S\cap I\neq \emptyset }$
• ${\displaystyle I\subseteq J\quad \ \implies \quad \ S^{-1}I\subseteq S^{-1}J\quad \ {\text{and}}\quad \ \operatorname {sat} (I)\subseteq \operatorname {sat} (J)}$
  （厳密に包含する場合は必ずしもそうではありません）
• ${\displaystyle S^{-1}(I\cap J)=S^{-1}I\cap S^{-1}J,\qquad \,\operatorname {sat} (I\cap J)=\operatorname {sat} (I)\cap \operatorname {sat} (J)}$
• ${\displaystyle S^{-1}(I+J)=S^{-1}I+S^{-1}J,\qquad \operatorname {sat} (I+J)=\operatorname {sat} (I)+\operatorname {sat} (J)}$
• ${\displaystyle S^{-1}(I\cdot J)=S^{-1}I\cdot S^{-1}J,\qquad \quad \operatorname {sat} (I\cdot J)=\operatorname {sat} (I)\cdot \operatorname {sat} (J)}$
• が素イデアルで となる場合、は素イデアルであり、 となる。共通部分が空でない場合、 となり、${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset ,}$${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}=S^{-1}R}$${\displaystyle \operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})=R.}$

R を可換環、 SをR内の乗法集合、MをR加群とする。加群MのSによる局所化S ⁻¹ Mは、分数の分子がMに属することを除いてRの局所化とまったく同じように構築されるS ⁻¹ R加群である。つまり、集合として、それは( m , s )のペアの同値類 ( ) から構成される。ここで、およびであり、2 つのペア( m , s )と( n , t )は、 Sに元uが存在し 、 ${\displaystyle {\frac {m}{s}}}$${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle s\in S,}$

${\displaystyle u(sn-tm)=0.}$

加算とスカラー乗算は、通常の分数に対して次のように定義されます（次の式では、および）。 ${\displaystyle r\in R,}$ ${\displaystyle s,t\in S,}$${\displaystyle m,n\in M}$

${\displaystyle {\frac {m}{s}}+{\frac {n}{t}}={\frac {tm+sn}{st}},}$

${\displaystyle {\frac {r}{s}}{\frac {m}{t}}={\frac {rm}{st}}.}$

さらに、S ⁻¹ Mはスカラー乗算を伴う R加群でもある。

${\displaystyle r\,{\frac {m}{s}}={\frac {r}{1}}{\frac {m}{s}}={\frac {rm}{s}}.}$

これらの演算が明確に定義されていること、つまり分数の代表値を異なる方法で選択しても同じ結果が得られるかどうかは簡単に確認できます。

モジュールの局所化は、テンソル積を使用して同様に定義できます。

${\displaystyle S^{-1}M=S^{-1}R\otimes _{R}M.}$

同値性の証明（標準同型まで）は、2 つの定義が同じ普遍的性質を満たすことを示すことによって行うことができます。

M がR加群Nの部分加群で、S がRの乗法集合である場合、次が成り立つ。これは、 が入射加群準同型である場合、次が 成り立つことを意味する。${\displaystyle S^{-1}M\subseteq S^{-1}N.}$${\displaystyle f\colon M\to N}$

${\displaystyle S^{-1}R\otimes _{R}f:\quad S^{-1}R\otimes _{R}M\to S^{-1}R\otimes _{R}N}$

は、単射準同型でもあります。

テンソル積は右完全関数なので、 Sによる局所化はR加群の完全列を-加群の完全列に写像することを意味します。言い換えると、局所化は完全関数であり、平坦なR加群です。 ${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}R}$

この平坦性と局所化が普遍的性質を解決するという事実により、局所化はモジュールと環の多くの性質を保存し、他の普遍的性質の解と互換性を持つ。例えば、自然写像

${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)\to S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$

は同型である。 が有限提示モジュールである場合、自然な写像 ${\displaystyle M}$

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Hom} _{R}(M,N)\to \operatorname {Hom} _{S^{-1}R}(S^{-1}M,S^{-1}N)}$

も同型である。^[4]

モジュールMがR上有限生成である場合、

${\displaystyle S^{-1}(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Ann} _{S^{-1}R}(S^{-1}M),}$

ここで は消滅子を表し、これは環の元のすべての要素をゼロに写すイデアルである。^[5]特に、 ${\displaystyle \operatorname {Ann} }$

${\displaystyle S^{-1}M=0\quad \iff \quad S\cap \operatorname {Ann} _{R}(M)\neq \emptyset ,}$

つまり、ある人にとって^[6]${\displaystyle tM=0}$${\displaystyle t\in S.}$

素イデアルの定義は、可換環Rの素イデアルの補集合 が乗法集合であることを直ちに意味する。この場合、局所化は一般に と表記される。環は局所環であり、におけるRの局所環と呼ばれる。これは、 が環の唯一の極大イデアルであることを意味する。${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\,R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$

このような局所化は、いくつかの理由から可換代数と代数幾何学にとって基本的なものです。1つは、特に中山の補題により、局所環は一般の可換環よりも研究しやすいことが多いことです。しかし、主な理由は、多くの特性が環に当てはまるのは、そのすべての局所環に当てはまる場合のみであるということです。たとえば、環が正則であるためには、そのすべての局所環が正則な局所環である必要があります。

局所環上で特徴付けられる環の性質は局所性質と呼ばれ、代数多様体の幾何学的局所性質の代数版であることが多い。幾何学的局所性質は、多様体の各点の小さな近傍に制限することで研究できる性質である。(ザリスキー開集合への局所化を指す局所性質の別の概念もある。下の § ザリスキー開集合への局所化を参照。)

多くのローカルプロパティは、モジュールが

${\displaystyle \bigoplus _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$

直和がすべての素イデアル（またはRのすべての極大イデアル）にわたって取られるとき、 は忠実に平坦な加群である。忠実に平坦な降下も参照。

RモジュールMのプロパティPは、次の条件が同等である場合に ローカル プロパティです。

• P はMに対して成り立ちます。
• P はRの素イデアルであるすべての場合に成立します。${\displaystyle M_{\mathfrak {p}},}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• P はRの最大イデアルであるすべての場合に成立します。${\displaystyle M_{\mathfrak {m}},}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

ローカル プロパティは次のとおりです。

• Mはゼロです。
• Mは捩れがない（ Rが可換領域の場合）。
• M はフラットモジュールです。
• M は可逆な加群である（ R が可換領域であり、M がRの分数体のサブ加群である場合）。
• ${\displaystyle f\colon M\to N}$は単射（または全射）であり、Nは別のRモジュールです。

一方、いくつかの特性は局所的特性ではありません。たとえば、体の無限直積は整域でもネーター環でもありませんが、そのすべての局所環は体であり、したがってネーター整域です。

非可換環の局所化はより困難です。局所化はすべての潜在的な単位の集合Sに対して存在しますが、上記とは異なる形式になる場合があります。局所化が適切に行われることを保証する 1 つの条件は、Ore 条件です。

非可換環において局所化が明らかに興味深いケースの 1 つは、微分作用素の環の場合です。局所化には、たとえば、微分作用素Dの形式的な逆関数D ^{−1を付加するという解釈があります。これは、}微分方程式の手法の多くのコンテキストで行われます。現在、これに関する大規模な数学理論があり、ミクロ局所化と呼ばれ、他の多くの分野と関連しています。ミクロというタグは、特に フーリエ理論との関連に関係しています。

• ローカル分析
• カテゴリーのローカライズ
• 位相空間の局所化

• MathWorldからのローカリゼーション。