完璧な複合施設

代数学において、可換環A上の完全加群複体とは、有限射影A加群の有界複体と準同型なA加群の導来圏の対象である。完全加群とは、次数がゼロに集中した複体と見なしたときに完全となる加群のことである。例えば、Aがネーター環である場合、 A上の加群が完全であるのは、それが有限生成かつ有限射影次元である場合に限る。

完全複体は、まさに非有界導来圏におけるコンパクトオブジェクトである。${\displaystyle D(A)}$A加群の。^{[ 1 ]}これらはまた、このカテゴリーにおける双対化可能な対象でもある。^{[ 2 ]}

リングスペクトル上の（例えば右）モジュールスペクトルの∞-カテゴリにおけるコンパクトオブジェクトは、しばしば完全であると呼ばれます。^{[ 3 ]}モジュールスペクトルも参照してください。

構造束の場合${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$はコヒーレントではないため、コヒーレント層を扱うと扱いづらい点があります（つまり、有限表示の核はコヒーレントにならない可能性があります）。このため、SGA 6 Expo I では擬似コヒーレント層の概念を導入しています。

定義により、環状空間が与えられた場合${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュールは、すべての整数に対して、擬似コヒーレントであると呼ばれます。${\displaystyle n\geq 0}$局所的には、長さnの有限型の自由表現が存在する。

${\displaystyle L_{n}\to L_{n-1}\to \cdots \to L_{0}\to F\to 0}$。

複素数F​${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュールは、任意の整数nに対して、局所的に準同型が存在する場合に擬似コヒーレントと呼ばれます。${\displaystyle L\to F}$ここで、Lは次数が上に制限されており、次数が有限の自由加群から構成される。${\displaystyle \geq n}$複体が0次項のみから構成されている場合、それが擬似コヒーレントであるのは、それがモジュールとして擬似コヒーレントである場合に限る。

大まかに言えば、擬似コヒーレント複体は、完全複体の極限と考えることができる。

• ヒルベルト・バーチの定理
• 楕円複体（関連概念；SGA 6 Exposé II、付録IIで解説。）

• Ben-Zvi, David; Francis, John; Nadler, David (2010)、「導出代数幾何学における積分変換とドリンフェルド中心」、Journal of the American Mathematical Society、23 (4): 909–966、arXiv : 0805.0157、doi : 10.1090/S0894-0347-10-00669-7、MR 2669705、S2CID 2202294  

• ピエール・ベルトロ;アレクサンドル・グロタンディーク;リュック・イリュージー編（1971年）。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des Intersections et Théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (数学の講義ノート225 )。数学の講義ノート (フランス語)。 Vol.  225.ベルリン。ニューヨーク: Springer-Verlag。 xii+700。土井：10.1007/BFb0066283。ISBN 978-3-540-05647-8MR 0354655 .​ 
• Kerz, Moritz; Strunk, Florian; Tamme, Georg (2018). "代数的K理論とブローアップの降下". Inventiones Mathematicae . 211 (2): 523–577 . arXiv : 1611.08466 . Bibcode : 2018InMat.211..523K . doi : 10.1007/s00222-017-0752-2 .
• Lurie, Jacob (2014). "代数的K理論と多様体トポロジー（数学281）、講義19：環スペクトルのK理論" (PDF) .

• 「完全複体の行列式恒等式」 . MathOverflow .
• 「擬似コヒーレント複体の別の定義」。MathOverflow 。
• 「15.74 完全複体」。スタックスプロジェクト。
• 「完璧なモジュール」。ncatlab.org 。