代数的にコンパクトなモジュール

数学において、代数的にコンパクトなモジュールは、純粋単射モジュールとも呼ばれ、モジュール内の無限方程式系を有限手段で解くことができる「優れた」特性を持つモジュールです。これらの系の解により、特定の種類のモジュール準同型を拡張できます。これらの代数的にコンパクトなモジュールは、すべてのモジュール準同型を拡張できる単射モジュールに類似しています。すべての単射モジュールは代数的にコンパクトであり、カテゴリ埋め込みによって両者の類似性が非常に明確になります。

Rを環とし、 Mを左R加群とする。無限個の線形方程式の系を考える。

${\displaystyle \sum _{j\in J}r_{i,j}x_{j}=m_{i},}$

ここで、集合IとJ は両方とも無限であり、各iについて非ゼロの数は有限です。 ${\displaystyle m_{i}\in M,}$${\displaystyle r_{i,j}\in R}$

目標は、そのようなシステムに解があるかどうか、つまりシステムのすべての方程式が同時に満たされるMの要素x _jが存在するかどうかを判断することです。(有限個のx _jのみがゼロでない 必要はありません。)

モジュールMが代数的にコンパクトであるとは、そのようなすべてのシステムについて、有限個の方程式によって形成されるすべてのサブシステムに解がある場合、システム全体にも解が存在することを意味します。(さまざまなサブシステムの解は異なる場合があります。)

一方、モジュール準同型 M → Kは、テンソル積C ⊗ M → C ⊗ K間の誘導準同型が次の式を満たすとき、純粋埋め込みである。 は任意の右R加群Cに対して単射である。加群Mが純単射であるとは、任意の純単射準同型j  : M → Kが分解する場合（つまり、となるf  : K → Mが存在する場合）である。 ${\displaystyle f\circ j=1_{M}}$

モジュールが代数的にコンパクトとなるのは、それが純粋に単射である場合のみであることがわかります。

有限個の要素を持つすべてのモジュールは代数的にコンパクトです。

すべてのベクトル空間は代数的にコンパクトです (純粋単射であるため)。より一般的には、すべての単射加群は同じ理由で代数的にコンパクトです。

R が何らかの体k上の 1 を持つ結合代数である場合、有限k次元を持つすべてのRモジュールは代数的にコンパクトです。これは、すべての有限モジュールが代数的にコンパクトであるという事実と相まって、代数的にコンパクトなモジュールは「小さな」モジュールの優れた特性を共有する (おそらく「大きな」) モジュールであるという直感を生み出します。

プリューファー群は代数的にコンパクトなアーベル群（つまりZ加群）です。各素数pのp進整数環は、それ自身の加群としてもZの加群としても代数的にコンパクトです。有理数はZ加群として代数的にコンパクトです。 Z上の不可分有限加群とともに、これは不可分代数的にコンパクトな加群の完全なリストです。

代数的にコンパクトな加群の多くは、アーベル群の入射的コジェネレータ Q / Z を使って生成できる。 H が環R上の右加群であれば、HからQ / Zへのすべての群準同型からなる (代数的) 特性加群H * を形成する。これは左R加群であり、 * 演算によって右R加群から左R加群への忠実な反変関数が得られる。形式 H * のすべての加群は代数的にコンパクトである。さらに、Hに自然な純粋入射的準同型H → H **が存在する。代数的にコンパクトな加群の方が扱いやすいため、最初に * 関数を適用することで問題を簡略化できることが多い。

次の条件は、 Mが代数的にコンパクトであることと同等です。

• すべての添字集合Iに対して、加法写像M ^(I) → M は、加法準同型M ^I → Mに拡張できます（ここで、M ^{(I) は}、 Iの各要素に対して 1 つずつのMのコピーの直和を表します。M ^{I は}、 Iの各要素に対して 1 つずつのMのコピーの積を表します）。

すべての分解不可能な代数的コンパクト加群には局所 自己準同型環が存在します。

代数的にコンパクトな加群は、次の理由により、入射オブジェクトと他の多くの特性を共有します。R -ModのGrothendieck カテゴリ Gへの埋め込みが存在し、その埋め込みでは代数的にコンパクトなR -加群がG内の入射オブジェクトに正確に対応するからです。

すべてのR加群は代数的にコンパクトなR加群と、分解不可能な代数的にコンパクトなR加群の直和に基本的に同値である。^[1]

• CU Jensen と H. Lenzing:モデル理論的代数、Gordon and Breach、1989 年