5つの補題

数学、特にホモロジー代数やアーベル圏理論の他の応用において、五つの補題は可換図式に関する重要かつ広く使われている補題である。五つの補題はアーベル圏に有効であるだけでなく、例えば 群の圏でも有効である。

5 つの補題は、互いに 双対である他の 2 つの定理、つまり4 つの補題の組み合わせとして考えることができます。

任意のアーベル圏（アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など）または群の圏における次の可換図式を考えます。

5 つの補題は、行が正確で、mとpが同型で、lがエピモフィズムで、q がモノモフィズムである場合、nも同型であると述べています。

2 つの 4 つの補題は次のようになります。

私たちが使用する証明方法は、一般的にダイアグラム追跡と呼ばれています。^[1] 2つの4つの補題をそれぞれ個別に証明することで、5つの補題を証明します。

ダイアグラム追跡を実行するために、何らかの環上の加群のカテゴリ にいると仮定します。これにより、ダイアグラム内のオブジェクトの要素について語り、ダイアグラムの射をそれらの要素に作用する関数(実際は準同型) として考えることができます。すると、射が単射となるのは、それが単射となる場合と、それが全射となる場合とで同じです。同様に、正確性を扱うために、核と像を関数論的な意味で考えることができます。ミッチェルの埋め込み定理 により、この証明は、任意の (小さな) アーベル カテゴリにも適用できます。これは、任意の小さなアーベル カテゴリは、何らかの環 上の加群のカテゴリとして表すことができるというものです。群のカテゴリについては、以下のすべての加法表記を乗法表記に変換し、アーベル群の可換性は決して使用されないことに注意してください。

したがって、(1)を証明するには、mとpが射影的であり、qが単射的であると仮定します。

• c′をC′の要素とする。
• pは射影的であるため、 Dにはp ( d )= t ( c′ )となる元dが存在する。
• 図の可換性により、u ( p ( d )) = q ( j ( d )) となります。
• 正確にはim t = ker uなので、0 = u ( t ( c′ )) = u ( p ( d )) = q ( j ( d ))です。
• q は単射なので、j ( d ) = 0 となり、d はker j = im hに含まれます。
• したがって、 Cにはh ( c ) = dとなるc が存在する。
• すると、t ( n ( c )) = p ( h ( c )) = t ( c′ ) となる。t は準同型なので、t ( c′ − n ( c )) = 0となる。
• 厳密には、c′ − n ( c ) はsの像であるため、 B′にはs ( b′ ) = c′ − n ( c )となるb′ が存在します。
• m は全射なので、 b′ = m ( b )となるB内のb を見つけることができます。
• 可換法則により、n ( g ( b ))= s ( m ( b ))= c′ − n ( c )となる。
• nは準同型なので、 n ( g ( b )+ c )= n ( g ( b ))+ n ( c )= c′ − n ( c )+ n ( c )= c′となる。
• したがって、n は射影的です。

次に、(2)を証明するために、mとpが単射であり、lが射影的であると仮定します。

• Cのc がn ( c ) = 0となるものとします。
• t ( n ( c ))は0になります。
• 交換法則により、p ( h ( c ))=0となる。
• pは単射なので、h ( c )=0となる。
• 正確には、 Bの元bが存在し、 g ( b ) = cとなります。
• 交換法則により、s ( m ( b ))= n ( g ( b ))= n ( c )=0となる。
• 正確には、 A′の元a′が存在し、 r ( a′ )= m ( b )となる。
• l は全射なので、 Aにはl ( a ) = a′となるaが存在します。
• 交換法則により、m ( f ( a ))= r ( l ( a ))= m ( b )となる。
• mは単射なので、f ( a )= bです。
• したがって、c = g ( f ( a ) ) です。
• gとfの合成は単純なので、c = 0 です。
• したがって、n は単射です。

2 つの 4 つの補題を組み合わせると、5 つの補題全体が証明されます。

5 つの補題は、長い完全列によく適用されます。つまり、与えられたオブジェクトのホモロジーまたはコホモロジーを計算する場合、通常は、ホモロジー/コホモロジーが既知であるより単純なサブオブジェクトを使用し、元のオブジェクトの未知のホモロジー グループを含む長い完全列に到達します。これだけでは、未知のホモロジー グループを決定するのに十分ではないことがよくありますが、元のオブジェクトとサブオブジェクトを射を介してよく理解されているものと比較できる場合は、それぞれの長い完全列間の射が誘導され、5 つの補題を使用して未知のホモロジー グループを決定できます。

• 短い5つの補題、短い完全列に対する5つの補題の特別なケース
• 蛇の補題、図式追跡によって証明されるもう一つの補題
• 9つの補題

• スコット、WR（1987）[1964]。群論。ドーバー。ISBN 978-0-486-65377-8。
• マッシー、ウィリアム S. (1991)、代数的位相幾何学の基礎コース、数学の大学院テキスト、第 127 巻 (第 3 版)、Springer、ISBN 978-0-387-97430-9