投影オブジェクト

圏論において、射影対象の概念は射影加群の概念を一般化したものである。アーベル圏における射影対象はホモロジー代数で用いられる。射影対象の双対概念は単射対象である。

物体​${\displaystyle P}$あるカテゴリーで$\displaystyle {\mathcal {C}}}$任意の全射影 に対して射影的であるならば${\displaystyle e:E\twoheadrightarrow X}$射影​${\displaystyle f:P\to X}$射が存在する${\displaystyle {\overline {f}}:P\to E}$そのため${\displaystyle e\circ {\overline {f}}=f}$つまり、次の図は可換である。

つまり、すべての射${\displaystyle P\to X}$あらゆるエピモルフィズムを通じた要因${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$[ ^{1 ]​}

Cが局所的に小さい場合、特に${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(P,X)}$Cの任意のオブジェクトXの集合である場合、この定義はhom ファンクター(共表現可能ファンクターとも呼ばれる)の条件と同等である。

${\displaystyle \operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$

射影写像を保持する。^{[ 2 ]}

• 2つの射影対象の余積は射影的である。^{[ 3 ]}
• 射影対象のリトラクトは射影的である。^{[ 4 ]}

すべての集合は射影的であるという命題は、選択公理と同値である。

アーベル群の圏における射影対象は自由アーベル群である。

させて${\displaystyle R}$単位元を持つ環とする。（アーベル）圏を考える。${\displaystyle R}$-左側のモジュール${\displaystyle R}$-モジュール。射影オブジェクトは${\displaystyle R}$- Modはまさに射影左 R 加群である。したがって、${\displaystyle R}$それ自体は射影オブジェクトである${\displaystyle R}$- Mod。双対的に、 ${\displaystyle R}$- Modはまさに左 R 加群です。

左（右）のカテゴリー${\displaystyle R}$-モジュールには十分な射影も含まれています。これは、すべての左（右）${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle M}$私たちは${\displaystyle F}$自由であること（したがって投影的であること）${\displaystyle R}$-生成セットによって生成されたモジュール${\displaystyle X}$のために${\displaystyle M}$（例えば、${\displaystyle X}$である${\displaystyle M}$)次に、正準射影${\displaystyle \pi \colon F\to M}$は必要な全射です。

コンパクトハウスドルフ空間のカテゴリーにおける射影対象は、まさに極端に不連結な空間である。この結果はグリーソン（1958）によるもので、レインウォーター（1959）が簡略化した証明を与えている。

バナッハ空間と縮約（つまり、ノルムが最大で 1 である汎関数）のカテゴリーでは、全射準同型写像は、まさに稠密な像を持つ写像です。Wiweger (1969) harvtxt error: no target: CITEREFWiweger1969 ( help )は、このカテゴリーでは零空間が唯一の射影対象であることを示しています。ただし、全射縮約のクラスに関して射影的な非自明な空間が存在します。縮約を持つノルム付きベクトル空間（および「射影」としての全射写像）のカテゴリーでは、射影対象はまさに${\displaystyle l^{1}}$-スペース。^{[ 5 ]}

${\displaystyle l^{1}(S)=\{(x_{s})_{s\in S},\sum _{s\in S}||x_{s}||<\infty \}.}$

n Labにおける射影オブジェクト