モジュールの根号

数学において、加群の理論では、加群の根号は構造と分類の理論の構成要素である。これは環に対するヤコブソン根号の一般化である。多くの点で、これはMの基底soc( M )の概念と双対である。

R を環とし、 Mを左R加群とする。Mの部分加群 N は、商M / N が単純加群である場合に、最大または余単純と呼ばれる。加群Mの根基は、 Mのすべての最大部分加群の共通部分である。

${\displaystyle \mathrm {rad} (M)=\bigcap \,\{N\mid N{\mbox{ は }}M の最大部分加群である\}}$

同様に、

${\displaystyle \mathrm {rad} (M)=\sum \,\{S\mid S{\mbox{ は }}M\}} の余分な部分加群である$

これらの定義には、soc( M )の直接的な双対類似物があります。

• rad( M ) は余分なサブモジュールの和であるという事実に加えて、ノイザン加群ではrad( M ) 自体も余分なサブモジュールです。

実際、Mが環上に有限生成である場合、 rad( M ) 自体は余分なサブモジュールです。これは、 Mが有限生成で ある場合、Mの任意の適切なサブモジュールがMの最大サブモジュールに含まれるためです。

• 任意の右R加群Mに対してrad( M ) = {0}となる環を右V環と呼ぶ。
• 任意のモジュールMについて、rad( M /rad( M ))はゼロです。
• Mが有限生成加群となるのは、余弦M /rad( M ) が有限生成であり、 rad( M ) がMの 余分な部分加群である場合に限ります。

• ソクル（数学）
• ジェイコブソンラジカル

• Alperin, JL ;ローウェン B. ベル (1995)。グループと表現。スプリンガー・フェルラーグ。 p. 136.ISBN​ 0-387-94526-1。
• アンダーソン、フランク・ワイリー、ケント・R・フラー（1992）。環と加群のカテゴリ。シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 978-0-387-97845-1。