基本除数

代数学において、主イデアル整域(PID)上の加群の基本因子は、主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理の一形式に現れる。

もし${\displaystyle R}$PIDであり、${\displaystyle M}$有限生成${\displaystyle R}$-モジュールの場合、Mは次の形式の有限直和と同型である。

${\displaystyle M\cong R^{r}\oplus \bigoplus _{i=1}^{l}R/(q_{i})\qquad {\text{ただし }}r,l\geq 0}$、

どこで${\displaystyle (q_{i})}$はゼロでない基本イデアルである。

基本イデアルのリストは順序を除いて一意です（ただし、特定のイデアルが複数回出現する可能性があるため、リストは基本イデアルの多重集合を表します）。$q_i$は、関連性を除いて一意であり、基本因子と呼ばれます。PIDでは、非ゼロのプライマリイデアルは素イデアルのべき乗であるため、基本因子はべき乗として記述できます。${\displaystyle q_{i}=p_{i}^{r_{i}}}$既約要素の。非負整数${\displaystyle r}$これはモジュールの自由ランクまたはベッチ数と呼ばれます。${\displaystyle M}$。

モジュールは、自由ランクrを指定し、関連する既約要素のクラスpと各正の整数kに対して、基本因子の中にp ^{k が}出現する回数を指定することで、同型を除いて決定されます。基本因子は、モジュールの不変因子のリストから、それぞれを可能な限り互いに素な (非単位) 因子に分解することによって得られます。これらの因子は既約要素のべき乗になります。この分解は、Rの中国剰余定理を使用して、不変因子に対応する各部分モジュールを最大限に分解することに対応します。逆に、基本因子の多重集合M がわかっている場合、不変因子は、最後のもの (他のすべてのものの倍数である) から始めて、次のように見つけることができます。Mに何らかのべき乗p ^kが出現する各既約要素pに対して、そのようなべき乗の最大値を取り、それを M から削除し、すべての (関連するクラス) pに対してこれらのべき乗を掛け合わせて、最終的な不変因子を得ます。Mが空でない限り、その前の不変因子を見つけるためにこれを繰り返す。

• 不変因子
• スミス正規形

• B. ハートリー、T.O. ホークス (1970)。『環、加群、線形代数』チャップマン・アンド・ホール。ISBN 0-412-09810-5。 第11章、182ページ。
• 第 III.7 章、153 ページ、セルジュ・ラング(1993) 『代数学（第 3版）』、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー、ISBN  978-0-201-55540-0、Zbl 0848.13001