群論用語集

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群とは、単位元を許容し、すべての元に対して逆元が存在する結合演算を伴う集合です。

この用語集では、グループの単位元を表すために e を使用します。

アーベル群

群( G , •)がアーベル群であるとは、•が可換である場合、つまり、すべてのg、h ∈ Gに対してg • h = h • gである場合です。同様に、この関係が任意のg、h ∈ Gのペアに対して成立しない場合、群は非アーベル群です。

優勢なサブグループ

群Gの部分群Hが優勢であるとは、 Hから始まりGで終わる上昇部分群の級数が存在し、級数内のすべての項がその後続の正規部分群であるときです。級数は無限である可能性があります。級数が有限である場合、部分群は非正規です。

自己同型性

群の自己同型とは、群とそれ自身との同型性です。

グループの中心

群 Gの中心はZ( G )と表記され、 Gのすべての元と可換な群元の集合、つまり、すべてのg ∈ Gに対してhg = ghとなるようなすべてのh ∈ Gの集合です。Z( G )は常にGの正規部分群です。 群 Gがアーベル群であるためには、Z( G ) = Gである必要があります。

中心のないグループ

群Gは、その中心Z( G )が自明である場合に、中心なし群である。

中央サブグループ

グループのサブグループは、グループの中心内にある場合、そのグループの中心サブグループです。

中央集権者

群 Gの部分集合Sに対して、SのGにおける中心化群C G ₍ S )は、次のように定義される Gの部分群である。

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\}.}$

派生サブグループ

交換子部分群の同義語。

直接製品

2つの群GとHの直積はG × Hと表記され、GとHの基礎集合の直積であり、成分ごとに定義された2項演算( g ₁ , h ₁ ) · ( g ₂ , h ₂ ) = ( g ₁ ⋅ g ₂ , h ₁ ⋅ h ₂ )を備えています。この演算により、G × H自体が群を形成します。

グループの指数

群Gの指数は、すべてのg ∈ Gに対してg ⁿ = eとなる最小の正の整数nです。これは、群内のすべての要素の順序の最小公倍数です。そのような正の整数が存在しない場合は、群の指数は無限大であると言われます。

因子グループ

商群の同義語。

FCグループ

グループの要素のすべての共役類が有限の濃度を持つ場合、そのグループはFC グループです。

有限群

有限群は有限の順序を持​​つ群、つまり有限個の要素を持つ群です。

有限生成群

群G が有限生成であるとは、有限生成集合が存在する場合、つまり、Gの元の有限集合Sが存在し、 Gのすべての元がSの有限個の元とSの元の逆の組み合わせとして表される場合です。

発電セット

群Gの生成集合は、 GのサブセットSであり、Gのすべての要素は、 Sの有限個の要素とSの要素の逆の組み合わせ（群演算の下で）として表現できます。 GのサブセットSが与えられます。 Sを含むGの最小のサブグループを⟨ S ⟩で表します。⟨ S ⟩ は、 Sによって生成されるGのサブグループと呼ばれます。

群の自己同型性

自己同型性を参照してください。

群準同型

準同型性を参照してください。

群同型性

同型性を参照してください。

準同型

2つの群( G , •)と( H , ·)が与えられたとき、GからHへの準同型は関数h  : G → Hであり、 Gのすべてのaとbに対して、h ( a • b ) = h ( a ) · h ( b )が成り立ちます。

サブグループのインデックス

群Gの部分群Hのインデックスは、| G  : H |または[ G  : H ]または( G  : H )と表記され、 GにおけるHの剰余類の数です。群Gの正規部分群Nの場合、 GにおけるNのインデックスは商群G / Nの位数に等しくなります。有限群Gの有限部分群Hの場合、 GにおけるHのインデックスは、GとHの位数の商に等しくなります。

同型性

2 つのグループ( G , •)と( H , ·)が与えられたとき、GとHの間の同型性はGからHへの全単射準同型性、つまり、与えられたグループ演算を尊重する方法でのグループの要素間の 1 対 1 対応です。2 つのグループが同型であるのは、一方から他方へのグループ同型写像が存在する場合です。同型グループは、個々の要素のラベルが異なるだけで、本質的に同じであると考えることができます。

部分群の格子

群の部分群の格子は、その部分群によって定義され、集合の包含によって部分的に順序付けられた格子です。

局所巡回群

すべての有限生成部分群が巡回的である場合、その群は局所巡回的です。すべての巡回群は局所巡回であり、すべての有限生成局所巡回群は巡回的です。すべての局所巡回群は可換群です。局所巡回群のすべての部分群、すべての商群、およびすべての準同型像は局所巡回です。

小さなサブグループなし

位相群には、非自明な部分群を含まない単位元の近傍が存在する場合、小さな部分群は存在しません。

通常の閉鎖

群 Gの部分集合 Sの正規閉包は、S を含む Gのすべての正規部分群の共通部分です 。

通常のコア

群Gの部分群Hの正規核は、 Hに含まれるGの最大の正規部分群です。

通常シリーズ

群 Gの正規系列は、系列の各要素が次の要素の正規系列であるような Gの正規部分群の系列である。

${\displaystyle 1=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft A_{n}=G}$

と

${\displaystyle A_{i}\triangleleft G}$。

軌道

集合Xに作用する群G を考える。Xの元xの軌道は、 Gの元によってx を移動できるXの元の集合である。 xの軌道はG ⋅ xで表される。

グループの順序

群 ( G、 • )の位数は、 Gの濃度(つまり、要素の数)です。 位数が有限の群は有限群と呼ばれます。

グループ要素の順序

群Gの元 gの位数は、 g ⁿ = eとなる最小の正の整数nです。そのような整数が存在しない場合は、gの位数は無限であるといわれます。有限群の位数は、すべての元の位数で割り切れます。

完璧なコア

グループの完全なコアは、そのグループの最大の完全なサブグループです。

完璧なグループ

完全群とは、それ自身の交換子部分群と等しい群です。

周期群

すべてのグループ要素が有限の順序を持​​つ場合、そのグループは周期的です。すべての有限グループは周期的です。

順列群

順列群とは、与えられた集合Mの順列（集合Mからそれ自身への全単射関数）を要素とし、その群演算がそれらの順列の合成である群である。集合Mのすべての順列からなる群は、Mの対称群である。

pグループ

p が素数である場合、p群とは、すべての要素の順序がpの累乗である群です。有限群は、群の順序がpの累乗である場合に限り、p群となります。

pサブグループ

p群でもある部分群。p 部分群の研究は、シローの定理の中心的目的です。

商群

群GとGの正規部分群N が与えられたとき、商群は左剰余類の集合G / N { aN  : a ∈ G }と演算aN • bN = abN を組み合わせたものである。正規部分群、準同型、因子群の関係は、準同型に関する基本定理にまとめられている。

実数要素

群Gの元gは、それがその逆元と同じ共役類に属する場合、つまり、Gにh が存在してg ^h = g ⁻¹で ある場合 (ただし、g ^{h は}h ⁻¹ ghと定義される)、G の実元と呼ばれます。群Gの元が実元となるのは、 Gのすべての表現に対して、対応する行列のトレースが実数である場合のみです。

シリアルサブグループ

群Gの部分群HがGの直列部分​​群であるとは、 HからGまでのGの部分群の連鎖Cが存在し、 C内の連続する部分群XとYの各ペアに対して、XがYの正規部分群となる場合をいう。連鎖が有限である場合、H はGの非正規部分群である。

単純なグループ

単純群とは、その群の正規部分群が自明群と群自体のみである非自明群です。

サブグループ

群Gの部分群とは、 Gの元の部分集合Hであり、 Gの群演算がH × Hに制限されている場合に、それ自体が群を形成するものである。群Gの部分集合HがGの部分群となるのは、それが空でなく、積と逆に対して閉じている場合、つまり、H内のすべてのaとbに対して、abとa ^−1もH内にある場合のみである。

サブグループシリーズ

群Gの部分群系列は、系列内の各要素が次の要素の部分群であるような Gの部分群の列です。

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G.}$

ねじれ群

周期群の同義語。

推移正規部分群

あるグループの部分群がグループ内で推移的に正規であるとは、その部分群のすべての正規部分群がグループ全体においても正規であることを意味します。

些細なグループ

自明群は、単一の元、つまり群の単位元からなる群です。このような群はすべて同型であり、自明群と呼ばれることがよくあります。

与えられた群の部分群と正規部分群は両方とも、部分集合の包含に関して完全な格子を形成します。この性質といくつかの関連する結果は、格子定理によって記述されます。

群準同型の核。群準同型の余域における恒等写像の逆像です。すべての正規部分群は群準同型の核であり、逆もまた同様です。

グループの直積、直和、半直積。これらはグループを組み合わせて新しいグループを構築する方法です。説明については、対応するリンクを参照してください。

有限生成群。有限集合Sが存在し、 ⟨ S ⟩ = Gが成り立つ、 G は有限生成群であるといわれます。 S が1 つの要素のみを持つとすると、 Gは有限位数の巡回群、無限巡回群、または1 つの要素のみを 持つ群{ e }になります

単純群。単純群は、正規部分群としてeとそれ自身だけを持つ群である。単純群は実際には非常に複雑になる可能性があるため、この名前は誤解を招きやすい。一例として、位数が約 10 ^54であるモンスター群がある。すべての有限群は、群の拡大を介して単純群から構築されるため、有限単純群の研究はすべての有限群の研究の中心となる。有限単純群は知られており、分類されている。

任意の有限アーベル群の構造は比較的単純です。すべての有限アーベル群は巡回p 群の直和です。これは、すべての有限生成アーベル群、つまり有限集合によって生成されるすべてのアーベル群の完全な分類に拡張できます。

非可換群の場合、状況ははるかに複雑になります。

自由群。任意の集合Aが与えられたとき、 Aの自由半群を含む最小の群を群として定義できます。群は、 Aの要素によって構成できる有限の文字列 (単語)と、群を形成するために必要な他の要素で構成されます。文字列の乗算は連結によって定義されます。たとえば、 ( abb ) • ( bca ) = abbbcaです。

すべての群( G , •)は基本的にGによって生成される自由群の因子群です。詳細については、群の表現を参照してください。これらの表現に関して、次のようなアルゴリズム的な質問をすることができます。

• これら 2 つの表現は同型群を指定しますか?
• このプレゼンテーションでは、自明なグループが指定されていますか?

この一般的なケースは単語問題であり、これらの質問のいくつかは実際には一般的なアルゴリズムでは解決できません。

一般線型群は、 GL( n , F )と表記され、 n行n 列の可逆行列の群であり、行列の要素は実数や複素数などの 体 Fから取られます。

群の表現(群の表現と混同しないでください)。群の表現は、群から一般線型群への準同型です。基本的には、与えられた抽象群を可逆行列の具体的な群として「表現」しようとするもので、研究がはるかに容易になります。

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