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数学において、局所巡回群とは、すべての有限生成部分群が巡回する群 ( G , *)です。
いくつかの事実
- あらゆる巡回群は局所巡回群であり、あらゆる局所巡回群はアーベル群である。[1]
- すべての有限生成局所巡回群は巡回群である。
- 局所巡回群のすべての部分群と商群は局所巡回である。
- 局所巡回群の準同型像はすべて局所巡回である。
- 群が局所的に巡回的であるためには、群内の要素のすべてのペアが巡回群を生成する必要があります。
- 群が局所巡回的であるためには、その部分群の束が分配的である必要があります(Ore 1938)。
- 局所巡回群の捩れのないランクは0または 1 です。
- 局所巡回群の自己準同型環は可換である。[要出典]
巡回的ではない局所巡回群の例
- 有理数（Q 、+）の加法群は局所的に巡回的である。つまり、任意の有理数a / bとc / dのペアは1/（ bd ）によって生成される巡回部分群に含まれる。[2]
- 二項有理数（形式a /2 bの有理数）の加法群も局所巡回群です。つまり、二項有理数a /2 bとc /2 dの任意のペアは、 1/2 max( b , d )によって生成される巡回部分群に含まれます。
- p を任意の素数とし、μ p ∞ をCにおけるすべてのp乗根の集合、
すなわち
局所巡回ではないアーベル群の例
参考文献
- ^ ローズ（2012）、54頁。
- ^ ローズ（2012）、52頁。
- ホール、マーシャル・ジュニア(1999)、「19.2 局所巡回群と分配格子」、群論、アメリカ数学会、pp. 340-341、ISBN 978-0-8218-1967-8。
- オーレ、オイステイン(1938)、「構造と群論。II」(PDF)、デューク数学ジャーナル、4 (2): 247–269、doi :10.1215/S0012-7094-38-00419-3、MR 1546048。
- ローズ、ジョン・S. (2012) [1978年にイギリスのケンブリッジ大学出版局から最初に出版された作品の完全版、改変なしの再出版]群論講座。ドーバー出版。ISBN 978-0-486-68194-8。