サブグループシリーズ

数学、特に群論において、群の部分群級数は部分群の連鎖である。 ${\displaystyle G}$

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G}$

ここで、 は自明な部分群です。部分群級数は、群の研究をより単純な部分群とその関係の研究に単純化することができ、いくつかの部分群級数は不変的に定義することができ、群の重要な不変量です。部分群級数は、部分群法で使用されます。 ${\displaystyle 1}$

部分群級数は、抽象代数学におけるフィルタリングの使用の特別な例です。

群Gの非正規級数（正規級数、正規塔、非不変級数、または単に級数とも呼ばれる）は、それぞれが次の 正規部分群である部分群の列である。標準的な表記法では、

${\displaystyle 1=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft A_{n}=G.}$

A _{i が}Gの正規部分群である必要はなく、 A _{i  +1}の正規部分群であるだけでよい 。商群 A _{i  +1} / A _iは、級数の 因数群と呼ばれる。

さらに各A _{i が}Gにおいて正規である場合、この用語がより弱い意味で使用されていないときは、その級数は正規級数、または不変級数と呼ばれます。

すべてのiに対してA _i ≠ A _{i  +1}という追加の特性を持つ数列は、繰り返しのない数列と呼ばれます。つまり、各A _{i は}A _{i  +1}の適切な部分群です。数列の長さは、厳密な包含A _i < A _{i  +1}の数です。数列に繰り返しがない場合、長さはnです。

非正規級数の場合、長さは非自明な因数群の数です。すべての非自明な群には長さ 1 の正規級数、つまり があり、任意の非自明な真正規部分群は長さ 2 の正規級数を与えます。単純群の場合、長さ 1 の自明な級数が考えられる最長の非正規級数です。 ${\displaystyle 1\triangleleft G}$

シリーズは昇順で表記できます。

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G}$

または降順:

${\displaystyle G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq B_{n}=1.}$

与えられた有限級数の場合、「上昇級数」と「下降級数」の間には表記以外の区別はありません。しかし、無限級数の場合は区別があります。上昇級数

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$

最小の項、2番目に小さい項などがあるが、最大の固有項や2番目に大きい項などはない。一方、下降系列では

${\displaystyle G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq 1}$

最大項はありますが、最小の固有項はありません。

さらに、級数を生成するための再帰式が与えられた場合、生成される項は昇順または降順のいずれかとなり、結果として得られる級数をそれぞれ昇順または降順の級数と呼びます。たとえば、派生級数と下中央級数は降順の級数ですが、上中央級数は昇順の級数です。

部分群に対する昇順連鎖条件(ACC)を満たす群はネーター群と呼ばれ、降順連鎖条件(DCC)を満たす群はネーター環やアルティン環との類推によりアルティン群(アルティン群と混同しないように) と呼ばれます。ACC は最大条件:空でない部分群の集合にはすべて最大メンバーが存在するという条件に相当し、DCC は類似の最小条件 :に相当します。

無限巡回群のように、群はネーター群であってもアルティン群ではない場合があります。また、環とは異なり、プリューファー群のように、群はアルティン群であってもネーター群ではない場合があります。すべての有限群は明らかにネーター群かつアルティン群です。

ネーター群の準同型 像と部分群はネーター群であり、ネーター群によるネーター群の 拡張もネーター群である。アルティン群についても同様の結果が得られる。

ネーター群は、すべての部分群が有限生成であるような群と同値であり、これは群自体が有限生成であるよりも強い。つまり、2 個以上の有限個以上の生成元上の自由群は有限生成であるが、無限階数の自由群を含む。

ネーター群は多環群の有限拡大である必要はない。^[1]

無限部分群級数も定義され、自然に生じることがあります。その場合、特定の（完全に順序付けられた）添字セットが重要になり、昇順級数と降順級数が区別されます。自然数で添字付けされた昇順級数は、単に無限昇順級数と呼ばれ、その逆は無限降順級数と呼ばれます。部分群がより一般的に順序数で添字付けされる場合、次の昇順級数のような 超限級数^[2]が得られます。${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{\omega }\leq A_{\omega +1}=G}$

級数を生成するための再帰式が与えられた場合、級数を(昇級数の場合) または(降級数の場合)で 極限順序数で定義することにより、超限級数を超限再帰によって定義できます。この構成の基本的な例としては、超限下中心級数と上中心級数があります。 ${\displaystyle A_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }}$${\displaystyle A_{\lambda}:=\bigcap _{\alpha <\lambda }A_{\alpha}}$

他の全順序集合は、部分群系列の添字集合として現れることはほとんどない。^{[要出典]たとえば、自然に発生する双無限部分群系列（}整数で添字付けされた系列） を定義することはできるが、めったに見られない。

${\displaystyle 1\leq \cdots \leq A_{-1}\leq A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G}$

級数の精緻化は、元の級数の項のそれぞれを含む別の級数である。2 つの非正規級数は、それらの因数群の集合の間に一対一の関係があり、対応する因数群が同型である場合に、同値または同型であると言われる。精緻化により、級数に同値性までの半順序が与えられ、それらは格子を形成するが、非正規級数と正規級数は部分格子を形成する。2 つの非正規級数の上限の存在は、シュライアーの精緻化定理である。特に興味深いのは、繰り返しのない 極大級数である。

• 合成級数は最大非正規級数です。

同様に、 A _iのそれぞれがA _{i  +1}の最大正規部分群であるような非正規級数。 同様に、合成級数は、因子群のそれぞれが単純である非正規級数。

• 主級数は最大正規級数です。

• 可解群、または可解群とは、その因数群がすべてアーベルである非正規級数を持つ群です。
• べき零級数は、連続する商がべき零であるような非正規級数です。

冪零級数は、群が解ける場合にのみ存在します。

• 中心級数とは、連続する商が中心となるような非正規級数、つまり上記の級数が与えられた場合のことです。${\displaystyle A_{i+1}/A_{i}\subseteq Z(G/A_{i})}$${\displaystyle i=0,1,\ldots ,n-2}$

中心級数が存在するのは、群が冪零である場合のみです。

いくつかの部分群級数は、中心などの部分群や交換子などの演算によって 関数的に定義されます。これには次のものが含まれます。

• 下部中央シリーズ
• 上部中央シリーズ
• 派生シリーズ
• 下部フィッティングシリーズ
• アッパーフィッティングシリーズ

シロー部分群などのアイデアに関連する、素数冪順序または素数冪指数の部分群から生じる級数があります。

• 下pシリーズ
• 上位pシリーズ