コア（群論）

数学の一分野である群論において、コアとは群の特定の特殊正規部分群のいずれかです。最も一般的な 2 つのタイプは、部分群の正規コアと群の pコアです。

群Gに対して、部分群Hの正規核または正規内部^[1]は、 Hに含まれるGの最大の正規部分群（または同等に、Hの共役の交差）です。より一般的には、部分集合S  ⊆  Gに関するHの核は、 S の下でのHの共役の交差、つまり

${\displaystyle \mathrm {Core} _{S}(H):=\bigcap _{s\in S}{s^{-1}Hs}.}$

このより一般的な定義によれば、正規核はS  =  Gに関する核である。任意の正規部分群の正規核は部分群そのものである。

正規核は、集合に対する群作用の文脈において重要であり、任意の点の等方性部分群の正規核はその軌道全体における恒等関数として作用する。したがって、作用が推移的である場合、任意の等方性部分群の正規核は、まさに作用の 核となる。

コアフリー部分群は、その正規コアが自明部分群である部分群である。同様に、それは推移的で忠実な群作用の等方性部分群として現れる部分群である。

アーベル群の場合の隠れた部分群問題の解決は、任意の群の部分群の場合の正規核を見つけることに一般化されます。

このセクションでは、G は有限群を表しますが、いくつかの側面は局所有限群や準有限群に一般化されます。

素数 pに対して、有限群のpコアはその最大の正規p部分群として定義されます。これは、群のすべてのSylow p 部分群の正規コアです。Gのpコアはと表記されることが多く、特に有限群のフィッティング部分群の定義の 1 つに現れます。同様に、p ′-コアは、位数がpと互いに素であり と表記される Gの最大の正規部分群です。有限単純群の分類を含む有限不溶群の分野では、2′-コアは単にコアと呼ばれることが多く、 と表記されます。これは、通常は群のコアと群内の部分群のコアを区別できるため、混乱はほとんど生じません。と表記されるp ′、pコアは、によって定義されます。有限群に対して、p ′、pコアは唯一の最大の正規p冪零部分群です。 ${\displaystyle O_{p}(G)}$${\displaystyle O_{p'}(G)}$${\displaystyle O(G)}$${\displaystyle O_{p',p}(G)}$${\displaystyle O_{p',p}(G)/O_{p'}(G)=O_{p}(G/O_{p'}(G))}$

p核は、唯一の最大非正規p部分群として定義することもできます。p ′ 核は、唯一の最大非正規p ′ 部分群として定義することもできます。また、p ′, p核は、唯一の最大非正規p冪零部分群 として定義することもできます。

p 'とp '、p -core は上部のpシリーズを開始します。素数の集合π ₁、π ₂、 ...、π _{n +1}に対して、サブグループ O _{π 1、π 2、 ...、π n +1} ( G ) を次のように定義します。

${\displaystyle O_{\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n+1}}(G)/O_{\pi _{1},\pi _{2} ,\dots ,\pi _{n}}(G)=O_{\pi _{n+1}}(G/O_{\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n}}(G))}$

上側のp級数は、 π _{2 i −1} = p ′ およびπ _{2 i} = pとすることで形成されます。下側のp級数もあります。有限群は、自身のp ′、p核に等しい場合に限り、 p冪零であるといわれます。有限群は、その上側のp級数のある項に等しい場合に限り、p可溶であるといわれます。そのp長さは、上側のp級数の長さです。有限群G は、 の場合、素数pに対してp 制約があるといわれます。 ${\displaystyle C_{G}(O_{p',p}(G)/O_{p'}(G))\subseteq O_{p',p}(G)}$

すべての冪零群はp冪零であり、すべてのp冪零群はp可溶です。すべての可溶群はp可溶であり、すべてのp可溶群はp制約です。群がp冪零となるのは、その群が通常のp補集合、つまりその群のp ′-核を持つ場合のみです。

通常のコアが集合への群作用にとって重要であるのと同様に、 pコアとp ′ コアは、ベクトル空間への群の作用を研究するモジュラー表現理論において重要です。有限群のpコアは、特性pの任意の体上の既約表現の核の共通部分です。有限群の場合、p ′ コアは、主pブロック内にある通常の (複素) 既約表現の核の共通部分です。有限群の場合、p ′、pコアは、特性pの任意の体上の主pブロック内の既約表現の核の共通部分です。また、有限群の場合、p ′、pコアは、位数がpで割り切れるアーベル主因数の中心化子の共通部分です(これらはすべて、主ブロック内にあるサイズpの体上の既約表現です)。有限のp制約群の場合、特性pの体上の既約モジュールが主ブロックに含まれるのは、群のp ′-コアが表現の核に含まれる場合のみです。

概念と表記法において関連するサブグループが可解基です。可解基は最大の可解正規サブグループとして定義され、 と表記されます。 Gのp ′-コアの定義については、文献によって多少のばらつきがあります。少数の著者が、数本の論文 (たとえば、John G. Thompsonの N グループの論文、ただしその後の論文ではありません)で、不解グループGのp ′-コアをその可解基のp ′-コアとして定義し、2′-コアの特性をよりよく模倣しています。 ${\displaystyle O_{\infty }(G)}$