実数要素

現代代数学の一分野である群論では、群の元が の実元と呼ばれるのは、それがその逆元と同じ共役類に属する場合、つまりにが存在する場合であり、ここで はと定義される。^[1]群の元がとの反転が存在する場合、それは強実元と呼ばれる。^[2]${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x^{-1}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x^{g}=x^{-1}}$${\displaystyle x^{g}}$${\displaystyle g^{-1}\cdot x\cdot g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle t}$${\displaystyle x^{t}=x^{-1}}$

群の元が実数となるのは、のすべての表現に対して、対応する行列のトレースが実数となる場合であり、その場合のみである。言い換えれば、の元が実数となるのは、のすべての特徴に対して が実数となる場合であり、その場合のみである。^[3]${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Tr} (\rho (g))}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \chi (x)}$ ${\displaystyle \chi}$${\displaystyle G}$

すべての元が実数である群は、アンビバレント群と呼ばれます。すべてのアンビバレント群には、実数特性表があります。任意の次数の対称群は アンビバレントです。 ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n}$

単位元以外の実元を持つ群は必然的に偶数位数となる。^[3]

群の実元 に対して、を持つ群元の数はに等しい。^[1]ここで はの中心化子である。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x^{g}=x^{-1}}$${\displaystyle \left|C_{G}(x)\right|}$${\displaystyle C_{G}(x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(x)=\{g\in G\mid x^{g}=x\}}$。

すべての反転は強実です。さらに、2 つの反転の積であるすべての要素は強実です。逆に、すべての強実要素は 2 つの反転の積です。

および がにおいて実数であり、が奇数である場合、 はにおいて強実数です。 ${\displaystyle x\neq e}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \left|C_{G}(x)\right|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$

群の要素の拡張中心化子は次のように定義される。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}^{*}(x)=\{g\in G\mid x^{g}=x\lor x^{g}=x^{-1}\},}$

要素の拡張中心化子を集合の正規化子と等しくする。^[4]${\displaystyle x}$${\displaystyle \left\{x,x^{-1}\right\}}$

群の元の拡張中心化子は常に の部分群である。反転または非実数元の場合、中心化子と拡張中心化子は等しい。^[1]反転ではない 群の実数元の場合、${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \left|\mathrm {C} _{G}^{*}(x):\mathrm {C} _{G}(x)\right|=2.}$

• ブラウアー・ファウラー定理

• ゴレンスタイン、ダニエル(2007) [1980 年に最初に出版された作品の再版]。有限群。AMS チェルシー出版。ISBN 978-0821843420。
• アイザックス、I. マーティン(1994) [1976 年にニューヨークの Academic Press から最初に出版された作品の完全版、修正版の再出版]。有限群のキャラクター理論。Dover Publications。ISBN 978-0486680149。
• ローズ、ジョン・S. (2012) [1978年にイギリスのケンブリッジ大学出版局から最初に出版された作品の完全版、改変なしの再出版]群論講座。ドーバー出版。ISBN 978-0-486-68194-8。