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数学において、フォン・ノイマン環またはW*-環とは、ヒルベルト空間上の有界作用素からなる*-環であり、弱作用素位相において閉じており、恒等作用素を含む。これはC*-環の特殊なタイプである。
フォン・ノイマン代数は、ジョン・フォン・ノイマンが単一作用素、群表現、エルゴード理論、量子力学の研究に触発されて最初に導入したものである。彼の二重可換定理は、解析的な定義が対称性の代数としての純粋に代数的な定義と等価であることを示している。
フォン・ノイマン環の基本的な例を2つ挙げると以下のようになる。
フォン・ノイマン代数は、1929年にフォン・ノイマン（1930）によって初めて研究されました。彼とフランシス・マレーは、1930年代と1940年代に書かれた一連の論文（FJ Murray & J. von Neumann 1936 , 1937 , 1943 ; J. von Neumann 1938 , 1940 , 1943 , 1949 ）で、当初は作用素環という名前で基本理論を発展させ、フォン・ノイマンの著作集（1961）に再録されました。
フォン・ノイマン環の入門的な解説は、Jones (2003)とWassermann (1991)のオンラインノート、およびDixmier (1981)、Schwartz (1967)、Blackadar (2005)、Sakai (1971)の著書に掲載されている。Takesaki (1979)の3巻からなる著作は、この理論を網羅的に解説している。Connes (1994)の著書は、より高度なトピックを扱っている。
フォン・ノイマン環を定義する一般的な方法は3つあります。
最も一般的で最初の方法は、単位元を含む有界作用素（ヒルベルト空間上）の弱閉*-代数として定義することです。この定義では、弱（作用素）位相は、強、超強、超弱作用素位相など、他の多くの一般的な位相に置き換えることができます。ノルム位相で閉じている有界作用素の*-代数はC*-代数であり、特に任意のフォン・ノイマン代数はC*-代数です。
2つ目の定義は、フォン・ノイマン代数とは、対合（*-演算）に関して閉じている有界作用素の部分代数であり、その二重可換基に等しい、あるいは同等に、*に関して閉じているある部分代数の可換基に等しい、というものである。フォン・ノイマンの二重可換基定理（フォン・ノイマン 1930 ）によれば、最初の2つの定義は同等である。
最初の 2 つの定義は、フォン ノイマン代数を、あるヒルベルト空間に作用する演算子の集合として具体的に記述しています。酒井 (1971)は、フォン ノイマン代数は、前双対を持つ C*-代数として抽象的に定義することもできることを示しました。言い換えれば、バナッハ空間として考えられるフォン ノイマン代数は、前双対と呼ばれる別のバナッハ空間の双対です。フォン ノイマン代数の前双対は、実際には同型を除いて一意です。一部の著者は、ヒルベルト空間作用を伴う代数を「フォン ノイマン代数」、抽象的な概念を「W*-代数」と呼んでおり、フォン ノイマン代数は、ヒルベルト空間と、ヒルベルト空間上の適切な忠実単位作用を伴う W*-代数です。フォン・ノイマン環の具体的な定義と抽象的な定義は、ヒルベルト空間上の作用素のノルム閉*-環として、またはバナッハ*-環として定義できるC*-環の具体的な定義と抽象的な定義に似ています。 。
フォン・ノイマン代数学の用語の中には紛らわしいものがあり、また、その用語はしばしばこの分野以外では異なる意味を持つことがある。
フォン・ノイマン環の位相を無視すれば、それを（単位元を持つ） *-環、あるいは単なる環とみなすことができる。フォン・ノイマン環は半遺伝的である。すなわち、射影加群の有限生成部分加群はすべて射影加群となる。ベア*-環やAW*-環など、フォン・ノイマン環の基礎となる環を公理化する試みがいくつか行われてきた。有限フォン・ノイマン環の関連作用素の*-環は、フォン・ノイマン正則環である。（一般に、フォン・ノイマン環自体はフォン・ノイマン正則ではない。）
可換フォンノイマン環と測度空間の関係は、可換C*-環と局所コンパクトハウスドルフ空間の関係に類似している。すべての可換フォンノイマン環は、ある測度空間( X , μ )に対してL∞ ( X )と同型であり、逆に、すべてのσ-有限測度空間Xに対して、*-環L∞ ( X )はフォンノイマン環である。
この類似性から、フォン・ノイマン環の理論は非可換測度論と呼ばれ、C*-環の理論は非可換トポロジー と呼ばれることもある（Connes 1994 ）。
フォン・ノイマン環において、E = EE = E*となる演算子Eは射影と呼ばれます。これらは、 Hをある閉部分空間に直交射影する演算子そのものです。ヒルベルト空間Hの部分空間がフォン・ノイマン環Mに属するとは、それがM内の何らかの射影の像である場合をいいます。これにより、 Mの射影とMに属する部分空間との間に 1:1 の対応関係が確立されます。非公式には、これらはMの要素を用いて記述できる、あるいはM が「認識している」閉部分空間です。
M内の任意の作用素の像の閉包と、 M内の任意の作用素の核は、Mに属することが示せる。また、 Mの作用素による、 Mに属する任意の部分空間の像の閉包も、 Mに属する。（これらの結果は、極分解の結果である。）
射影の基本理論は、Murrayとvon Neumann (1936)によって考案されました。M に属する 2 つの部分空間は、一方の部分空間を他方の部分空間に同型に写像する部分等長写像が存在し、それが von Neumann代数の要素である場合 (非公式には、 Mが部分空間が同型であることを「知っている」場合) に、(Murray–von Neumann) 同値であると呼ばれます。これは、対応する部分空間が同値である場合、つまり、Eの像を F の像に等長に写像するHの部分等長写像が存在し、それが von Neumann代数の要素である場合に、 EがFと同値であると定義することにより、射影に関する自然な同値関係を誘導します。これを別の言い方で表現すると、E は、 M内の何らかの部分等長写像uに対してE=uu*かつF=u*uである場合に、 Fと同値であるということです。
このように定義された同値関係 ~ は、次の意味で加法的です。E 1 ~ F 1かつE 2 ~ F 2とします。E 1 ⊥ E 2かつF 1 ⊥ F 2ならば、 E 1 + E 2 ~ F 1 + F 2となります。~ の定義においてユニタリ同値性を要求する場合、つまり、あるユニタリ u に対して u*Eu = F であるならば E は F と同値であると言う場合、一般に加法的は成り立ちません。作用素環に関するシュレーダー・ベルンシュタインの定理は、マレー・フォン・ノイマン同値の十分条件を与えます。
Mに属する部分空間は包含関係によって部分的に順序付けられており、これにより射影の部分順序 ≤ が誘導されます。また、射影の部分順序 ≤ によって誘導される、射影の同値類の集合上にも自然な部分順序が存在します。Mが因子である場合、≤ は射影の同値類上の全順序であり、後述のトレースに関するセクションで説明します。
射影（またはMに属する部分空間）Eは、 Eと等価な射影F < E（つまりF ≤ E かつF ≠ E ）が存在しない場合に、有限射影であると言われます。たとえば、すべての有限次元射影（または部分空間）は有限です（ヒルベルト空間間の等長変換では次元が固定されるため）が、無限次元ヒルベルト空間上の恒等作用素は、その空間上のすべての有界作用素のフォン・ノイマン代数では有限ではありません。これは、恒等作用素がそれ自身の真部分集合と等長的に同型であるためです。ただし、無限次元部分空間が有限であることは可能です。
直交射影は、L ∞ ( R ) における指示関数の非可換類似物です。L ∞ ( R ) は、指示関数によって生成される部分空間の ||·|| ∞閉包です。同様に、フォン ノイマン環は、その射影によって生成されます。これは、自己共役作用素のスペクトル定理の結果です。
有限因子の射影は連続的な幾何学を形成する。
中心が恒等演算子の倍数のみで構成されるフォン・ノイマン環N を因子と呼ぶ。フォン・ノイマン (1949)が示したように、可分ヒルベルト空間上のすべてのフォン・ノイマン環は因子の直積分と同型である。この分解は本質的に一意である。したがって、可分ヒルベルト空間上のフォン・ノイマン環の同型類を分類する問題は、因子の同型類を分類する問題に帰着させることができる。
Murray & von Neumann (1936)は、すべての因子が以下の 3 つのタイプのいずれかを持つことを示しました。このタイプの分類は、因子ではないフォン ノイマン代数にも拡張でき、フォン ノイマン代数がタイプ X の因子の直積分として分解できる場合、その代数はタイプ X になります。たとえば、すべての可換フォン ノイマン代数はタイプ I 1です。すべてのフォン ノイマン代数は、タイプ I、II、および III のフォン ノイマン代数の和として一意に記述できます。
要因を分類する方法は他にもいくつかあり、それらも時折用いられます。
因子は、最小射影E ≠ 0 、すなわち 0 < F < Eとなる他の射影Fが存在しないような射影Eが存在する場合に、タイプ Iであると言われます。タイプ I の因子は、あるヒルベルト空間上のすべての有界作用素のフォン ノイマン代数と同型です。すべての基数に対して 1 つのヒルベルト空間が存在するため、タイプ I の因子の同型クラスは基数と正確に対応します。多くの著者は可分ヒルベルト空間上のフォン ノイマン代数のみを考察するため、有限次元nのヒルベルト空間上の有界作用素をタイプ I nの因子、可分無限次元ヒルベルト空間上の有界作用素をタイプ I ∞の因子と呼ぶのが慣例です。
因子がタイプ IIであるとは、最小射影は存在しないが、非ゼロの有限射影が存在する場合をいう。これは、すべての射影E が、マレー・フォン・ノイマン同値でE = F + Gを満たす2 つの射影FとGが存在するという意味で「半分にできる」ことを意味する。タイプ II 因子の恒等演算子が有限である場合、その因子はタイプ II 1であるといい、そうでない場合はタイプ II ∞であるといい、タイプ II 因子の中で最もよく理解されているのは、マレーとフォン・ノイマン (1936)によって発見された超有限タイプ II 1因子と超有限タイプ II ∞因子である。これらはタイプ II 1と II ∞の唯一の超有限因子であり、これらのタイプの他の因子は数えきれないほど多く、集中的に研究されている。マレーとフォン・ノイマン（1937）は、タイプII 1の因子は一意の有限トレース状態を持ち、射影のトレースの集合は[0,1]であるという基本的な結果を証明した。
タイプ II ∞の因子は、スケーリングを除いて一意な半有限トレースを持ち、射影のトレースの集合は [0,∞] です。トレースを λ 倍にスケーリングする自己同型写像が存在するような実数 λ の集合を、タイプ II ∞因子の基本群と呼びます。
タイプ II 1の因子と無限のタイプ I 因子のテンソル積はタイプ II ∞を持ち、逆にタイプ II ∞の任意の因子はこのように構成できます。タイプ II 1因子の基本群 は、タイプ I の無限 (分離可能) 因子とのテンソル積の基本群として定義されます。長年、基本群が正の実数の群ではないタイプ II 因子を見つけることは未解決問題でしたが、その後Connes は、SL(3, Z ) のようなKazhdan の性質 (T) (自明な表現が双対空間で孤立している)を持つ可算離散群のフォン ノイマン群代数が可算基本群を持つことを示しました。その後、Sorin Popa は、SL( 2, Z ) によるZ 2の半直積を含む特定の群では基本群が自明になる可能性があることを示しました。
タイプ II 1因子の例としては、すべての非自明な共役類が無限である可算無限離散群の群フォン ノイマン環が挙げられる。 マクダフ (1969) は、同型でない群フォン ノイマン環を持つそのような群の非可算族を発見し、それによって非可算個の異なる分離可能なタイプ II 1因子の存在を示した。
最後に、タイプ III因子は、非ゼロの有限射影をまったく含まない因子です。マレーとフォン・ノイマン (1936)は最初の論文で、それらが存在するかどうかを判断できませんでした。最初の例は後にフォン・ノイマン (1940)によって発見されました。これらの因子では恒等演算子が常に無限であるため、過去にはタイプ III ∞と呼ばれることもありましたが、最近ではその表記は III λという表記に置き換えられました。ここで λ は区間 [0,1] の実数です。より正確には、コンヌ スペクトル (そのモジュラー群) が 1 の場合、因子はタイプ III 0 であり、コンヌ スペクトルが 0 < λ < 1の λ のすべての整数乗である場合 、タイプは III λであり、コンヌ スペクトルがすべての正の実数である場合、タイプは III 1です。 （コンヌのスペクトルは正の実数の閉部分群であるため、これらが唯一の可能性です。）タイプ III 因子上の唯一のトレースは、すべての非ゼロの正の要素で ∞ の値を取り、任意の 2 つの非ゼロ射影は同値です。かつてタイプ III 因子は扱いにくい対象と考えられていましたが、富田-竹崎理論によって優れた構造理論が確立されました。特に、任意のタイプ III 因子は、タイプ II ∞因子と実数の交差積として標準的な方法で記述できます。
任意のフォン・ノイマン環Mには、 M上のすべての超弱連続線形汎関数からなるバナッハ空間である前双対M ∗が存在する。名前が示すように、Mは（バナッハ空間として）その前双対の双対である。前双対は、双対がMである他のバナッハ空間はすべて標準的にM ∗と同型であるという意味で一意である。酒井（1971）は、前双対の存在が C* 環の中のフォン・ノイマン環の特徴であることを示した。
上述のプレデュアルの定義は、 Mが作用するヒルベルト空間の選択に依存しているように思われる。なぜなら、この選択によって超弱位相が決定されるからである。しかし、プレデュアルは、 Mが作用するヒルベルト空間を用いずに、 M上のすべての正の正規線形汎関数によって生成される空間として定義することもできる。（ここで「正規」とは、自己共役作用素の増加ネットに適用した場合に上限を保存することを意味する。あるいは、同等に、射影の増加列に適用した場合に上限を保存することを意味する。）
前双対M ∗は双対M* ( M上のすべてのノルム連続線形汎関数からなる) の閉部分空間ですが、一般に小さくなります。M ∗が(通常) M*と同じではないという証明は非構成的であり、本質的に選択公理を使用します。M ∗ に含まれない M* の明示的な要素を示すことは非常に困難です 。たとえば、フォン ノイマン代数l ∞ ( Z ) 上のエキゾチックな正の線形形式は自由超フィルターによって与えられます。これらはCへのエキゾチックな *-準同型に対応し、ZのStone–Čech コンパクト化を記述します。
例：
重みとその特殊なケースである状態とトレースについては、 （竹崎 1979 ）で詳しく説明されています。
任意の因子は、非ゼロ射影のトレースが非ゼロであり、かつ射影のトレースが無限大となるのは、その射影が無限大である場合に限るというトレースを持つ。このようなトレースは、スケーリングを除いて一意である。分離可能または有限の因子の場合、2つの射影は、同じトレースを持つ場合に限り等価である。因子の型は、因子の射影に対するこのトレースの取りうる値から、次のように読み取ることができる。
ノルム1のベクトルvを含むヒルベルト空間にフォン・ノイマン環が作用する場合、汎関数a → ( av , v )は正規状態である。この構成を逆に行うことで、正規状態からヒルベルト空間への作用を与えることができる。これが正規状態に対するGNS構成である。
抽象的な分離可能因子が与えられたとき、その因子が作用する分離可能ヒルベルト空間、すなわちその因子のモジュールの分類を求めることができる。答えは次のとおりである。そのようなモジュールHには、 M次元 dim M ( H ) (複素ベクトル空間としての次元ではない)を与えることができ、モジュールが同型であるのは、それらが同じM次元を持つ場合のみである。M次元は加法的であり、あるモジュールが別のモジュールの部分空間と同型であるのは、その部分空間のM次元がそれより小さいか等しい場合のみである。
モジュールは、巡回分離ベクトルを持つ場合、標準モジュールと呼ばれます。各因子は、同型を除いて一意な標準表現を持ちます。標準表現には、 JMJ = M ′となるような反線形対合J があります。有限因子の場合、標準モジュールは、一意な正規トレース状態に適用されたGNS 構成によって与えられ、 M次元は標準モジュールのM次元が 1になるように正規化されます。一方、無限因子の場合、標準モジュールはM次元が ∞ に等しいモジュールです。
モジュールの可能なM次元は以下のとおりです。
Connes (1976)らは、可分ヒルベルト空間H上のフォン・ノイマン環Mに関する以下の条件がすべて同値であることを証明した。
上記の代数のクラスを表す一般的に受け入れられている用語はないが、コンヌスは「適応可能」という用語を標準用語とすべきだと提唱している。
適合因子は分類されており、タイプ I n、 I ∞、 II 1、 II ∞、 III λ （0 < λ ≤ 1 の場合）のそれぞれに一意のものがあり、タイプ III 0のものは特定のエルゴード流に対応します。（タイプ III 0の場合、対応するエルゴード流を簡単に分類する方法がないことが知られているため、これを分類と呼ぶのは少し誤解を招く可能性があります。）タイプ I と II 1のものはMurrayとvon Neumann (1943)によって分類され、残りのものはConnes (1976)によって分類されましたが、タイプ III 1の場合は Haagerup によって補完されました。
すべての可換因子は、単一のエルゴード変換に対するマレーとフォン・ノイマンの群測度空間構成を使用して構成できます。実際、それらはアーベルフォン・ノイマン環L ∞ ( X ) に対するZまたはZ/nZの自由エルゴード作用による交差積として生じる因子です。タイプ I 因子は、測度空間Xが原子であり、作用が推移的である場合に発生します。Xが拡散的または非原子である場合、測度空間として [0,1] と同等です。タイプ II 因子は、X がZの作用の下で不変な同値な有限 (II 1 ) または無限 (II ∞ ) 測度を許容する場合に発生します。タイプ III 因子は、不変測度がなく、不変測度クラスのみが存在する残りの場合に発生します。これらの因子はクリーガー因子と呼ばれます。
2 つのヒルベルト空間のヒルベルト空間テンソル積は、それらの代数テンソル積の完備化です。フォン・ノイマン環のテンソル積（環として考えられる代数の代数テンソル積の完備化）を定義することができ、これもまたフォン・ノイマン環であり、対応するヒルベルト空間のテンソル積に作用します。2 つの有限代数のテンソル積は有限であり、無限代数と非零代数のテンソル積は無限です。2 つのフォン・ノイマン環のテンソル積の型（I、II、または III）は、それらの型の最大値です。テンソル積の交換定理は、
ここで、M ′はMの可換群を表す。
無限個のフォン・ノイマン環のテンソル積は、素朴に行うと、通常、とてつもなく大きな非分離代数になります。代わりに、フォン・ノイマン (1938)は、各フォン・ノイマン環上の状態を選択し、これを使用して代数テンソル積上の状態を定義し、これを使用してヒルベルト空間と (適度に小さい) フォン・ノイマン環を生成する必要があることを示しました。荒木とウッズ (1968) は、すべての因子が有限行列代数である場合を研究しました。これらの因子は、荒木-ウッズ因子またはITPFI 因子(ITPFI は「有限型 I 因子の無限テンソル積」の略) と呼ばれます。無限テンソル積のタイプは、状態が変わると劇的に変化する可能性があります。たとえば、無限個の型 I 2因子の無限テンソル積は、状態の選択に応じて任意のタイプを持つことができます。特に、Powers (1967) は、 0 < λ < 1 に対して非同型な超有限型 III λ因子の非可算族（Powers 因子と呼ばれる）を、それぞれが次の状態を持つ型 I 2因子の無限テンソル積を取ることによって発見した。
タイプ III 0以外のすべての超有限フォン ノイマン環は荒木-ウッズ因子と同型であるが、そうでないタイプ III 0は数えきれないほど存在する。
双加群（または対応）とは、可換な2つのフォン・ノイマン環の加群作用を持つヒルベルト空間Hのことである。双加群は、通常の加群よりもはるかに豊かな構造を持つ。2つの因子上の双加群は必ず部分因子を与える。なぜなら、一方の因子は常に他方の因子の可換性に含まれるからである。また、双加群には、コンヌによる微妙な相対テンソル積演算も存在する。ヴォーン・ジョーンズによって提唱された部分因子理論は、これら一見異なる2つの視点を調和させるものである。
双加群は、離散群Γのフォン・ノイマン群環Mにとっても重要である。実際、 VがΓの任意のユニタリ表現である場合、ΓをΓ × Γの対角部分群とみなすと、l 2 (Γ, V )上の対応する誘導表現は、 Mの2つの可換コピーに対する双加群となる。Γの重要な表現論的性質は、双加群を用いて完全に定式化することができ、したがってフォン・ノイマン環自体にも意味がある。例えば、ConnesとJonesは、この方法でフォン・ノイマン環に対するKazhdanの性質(T)の類似物の定義を与えた。
タイプ I のフォン ノイマン代数は常に可換ですが、他のタイプでは、分類したり、互いに区別したりすることが非常に難しいと思われる、数えきれない数の異なる非可換因子があります。それにもかかわらず、Voiculescu は、群測度空間構成から得られる非可換因子のクラスは、自由群の群フォン ノイマン代数から得られるクラスとは互いに素であることを示しました。後に、小澤成隆は、双曲群の群フォン ノイマン代数が、タイプ II 1因子のテンソル積として因数分解できない素タイプ II 1因子を生成することを証明しました。これは、Voiculescu の自由エントロピーを使用して、Leeming Ge が自由群因子について最初に証明した結果です。非可換因子の基本群に関する Popa の研究は、もう 1 つの重要な進歩を表しています。「超有限を超える」因子の理論は現在急速に拡大しており、多くの新しい驚くべき結果があります。それは、幾何学的群論やエルゴード理論における剛性現象と密接な関連がある。
フォン・ノイマン代数は、結び目理論、統計力学、量子場理論、局所量子物理学、自由確率論、非可換幾何学、表現論、微分幾何学、力学系など、数学のさまざまな分野で応用されている。
例えば、C*-代数は確率論に対する別の公理化を提供する。この場合、その方法はゲルファント・ナイマーク・セガル構成と呼ばれる。これは、測度と積分に対する2つのアプローチに類似しており、集合の測度を先に構成してから積分を定義するか、あるいは積分を先に構成してから集合の測度を特性関数の積分として定義するかを選択できる。
