カプランスキー密度定理

フォン・ノイマン代数の理論において、アーヴィング・カプランスキーによるカプランスキー密度定理は基本的な近似定理である。この技術的ツールの重要性と普遍性から、ゲルト・ペダーセンは著書^[1]の中で次のように述べている。

密度定理はカプランスキーが人類に与えた偉大な贈り物です。毎日使うことができ、日曜日には 2 回使うこともできます。

K ^{− を}ヒルベルト空間H上の有界作用素の集合B(H)における集合Kの強作用素閉包と表し、 ( K ) _{1 を}KとB(H)の単位球との交差と表すものとする。

カプランスキーの密度定理。^[2]が の演算子の自己随伴代数である場合、 の強演算子閉包の単位球内の各要素はの単位球の強演算子閉包に含まれます。言い換えると、です。が の自己随伴演算子である場合、 は の自己随伴演算子の集合の強演算子閉包に含まれます。${\displaystyle A}$${\displaystyle B(H)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (A)_{1}^{-}=(A^{-})_{1}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle (A^{-})_{1}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle (A)_{1}}$

カプランスキー密度定理は、強い演算子トポロジーに関するいくつかの近似を定式化するために使用できます。

1) hが( A− ) ₁内の正の作用素である場合、hは( A ⁺ ) ¹内の自己随伴作用素の集合の強作用素閉包に含まれる_。ここでA ^+はA内の正の作用素の集合を表す。

2) A がヒルベルト空間Hに作用するC* 代数であり、uが A ⁻内のユニタリ演算子である場合、u はA内のユニタリ演算子の集合の強演算子閉包に含まれる。

密度定理と上記 1) では、単位球の代わりに 半径r > 0の球を考えた場合でも結果は成り立ちます。

標準的な証明では、有界連続実数値関数fが強作用素連続であるという事実が用いられる。言い換えれば、A内の自己随伴作用素のネット { a _α }に対して、連続関数計算a → f ( a ) は次を満たす。

${\displaystyle \lim f(a_{\alpha })=f(\lim a_{\alpha })}$

強演算子位相において。これは、 A ⁻の単位球の自己随伴部分がAの自己随伴要素によって強く近似できることを示しています。対角要素が0で、他の位置がaとa ^*である自己随伴演算子を考慮したM ₂ ( A ) の行列計算により、自己随伴性制限が削除され、定理が証明されます。

• ヤコブソン密度定理

• Kadison, Richard , 『作用素代数理論の基礎』第1巻：初等理論、アメリカ数学会。ISBN 978-0821808191。 
• VFR ジョーンズ・フォン・ノイマン代数; コースからの不完全なノート。
• 竹崎 正之作用素環論 I ISBN 3-540-42248-X