フォン・ノイマンの双可換定理

数学、特に関数解析において、フォン・ノイマンの二可換定理は、特定の位相におけるヒルベルト空間上の有界作用素の集合の閉包を、その集合の二可換に関連付けるものです。本質的には、作用素理論の代数的側面と位相的側面を結び付けるものです。

定理の正式な記述は次のとおりです。

フォン・ノイマンの二可換定理。Mをヒルベルト空間H上の有界演算子から成り、恒等演算子を含み、随伴演算子を取ることで閉じている代数とします。このとき、弱演算子位相と強演算子位相におけるMの閉包は等しく、さらにMの二可換M ''に等しくなります。

この代数は、Mによって生成されるフォン・ノイマン代数と呼ばれます。

有界作用素の空間には他にも位相がいくつかあり、これらの位相で閉じている *-代数は何かと問うことができます。Mがノルム位相で閉じている場合、それはC*-代数ですが、必ずしもフォン ノイマン代数であるとは限りません。そのような例の 1 つは、コンパクト作用素の C*-代数です(無限次元ヒルベルト空間上)。他の一般的な位相のほとんどでは、1 を含む閉じた *-代数はフォン ノイマン代数です。これは特に、弱作用素、強作用素、*-強作用素、超弱、超強、*-超強位相に当てはまります。

これはヤコブソンの密度定理に関連しています。

H をヒルベルト空間とし、L ( H )をH上の有界作用素とする。 L ( H )の自己随伴単位部分代数 M を考える（これはM がそのメンバーの随伴とH上の恒等作用素を含むことを意味する）。

この定理は、次の 3 つのステートメントの組み合わせと同等です。

(i) cl _W ( M ) ⊆ M "

(ii) cl _S ( M ) ⊆ cl _W ( M )

(iii) M '' ⊆ cl _S ( M )である。

ここで、WとS の添え字は、それぞれ弱い演算子トポロジと強い演算子トポロジにおける閉包を表します。

Hの任意のxとyに対して、マップT → < Tx , y > は定義により弱作用素位相で連続である。したがって、任意の固定作用素Oに対して、マップ

${\displaystyle T\to \langle (OT-TO)x,y\rangle =\langle Tx,O^{*}y\rangle -\langle TOx,y\rangle }$

S をL ( H )の任意の部分集合とし、S ′ をその可換項とする。S ′の任意の演算子Tについて、この関数はSのすべてのOに対してゼロになる。S ′にない任意のTについて、 Sの何らかのOとHの何らかのxとyに対して非ゼロになる必要がある。その連続性により、非ゼロになる弱演算子位相に対してTの開近傍が存在し、したがってS ′にも存在しない。したがって、任意の可換項S ′ は弱演算子位相で閉じている。特に、M '' も同様で、 M を含むため、その弱演算子閉包も含む。

これは、弱演算子位相が強演算子位相よりも粗いことから直接導かれます。cl S ( M ) 内のすべての点 x に対して、弱演算子位相内のxのすべての開近傍は_強演算子位相でも開であり、したがってMのメンバーを含みます。したがって、x はcl _W ( M )のメンバーでもあります。

X ∈ M ''を固定します。 X ∈ cl _S ( M )、つまり各h ∈ Hと任意のε > 0に対して、 || Xh − Th || < εとなるT がMに存在することを示さなければなりません。

h をHに固定します。巡回部分空間 M h = { Mh  : M ∈ M } はMの任意のTの作用に対して不変です。 Hのノルムにおけるその閉包cl( M h ) は閉線型部分空間であり、対応する直交射影P  : H → cl( M h )がL ( H )にあります。実際、このP はM ′に含まれます。

補題 P ∈ M ′。

証明。x ∈ Hを固定します。Px ∈ cl( M h )なので、これはMに含まれるO _{n を}持つシーケンスO _n hの極限です。任意のT ∈ Mについて、TO _n hもM hに含まれ、 Tの連続性により、このシーケンスはTPxに収束します。したがってTPx ∈ cl( M h )であり、したがってPTPx = TPxです。x は任意であるため、 MのすべてのTについてPTP = TPとなります。

Mは随伴演算に関して閉じており、Pは自己随伴なので、任意のx 、 y∈Hに対して、

${\displaystyle \langle x,TPy\rangle =\langle x,PTPy\rangle =\langle (PTP)^{*}x,y\rangle =\langle PT^{*}Px,y\rangle =\langle T ^{*}Px,y\rangle =\langle Px,Ty\rangle =\langle x,PTy\rangle }$

したがって、すべてのT ∈ Mに対してTP = PT となり、P はM ′に含まれることを意味します。

二交換子の定義により、 XP = PXでなければなりません。M は単位元なので、h ∈ M hであり、h = Phです。したがって、Xh = XPh = PXh ∈ cl( M h )です。したがって、各ε > 0に対して、 || Xh − Th || < εとなるMのTが存在し、つまり、X はMの強い作用素閉包内にあります。

Hに作用するAC*-代数M は、 H内のhに対して、M h = {0} がh = 0 を意味するとき、非退化的に作用するという。この場合、 M内の近似恒等式を使用して、恒等演算子I がMの強閉包にあることを示すことができる。したがって、 Mに対して二交換定理の結論が成り立つ。

• WB Arveson, C*-代数への招待、Springer、ニューヨーク、1976年。
• M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I、Springer、2001、1979年初版の第2刷。

• ジェイコブ・ルリーのフォン・ノイマン代数に関する講義ノート https://www.math.ias.edu/~lurie/261y.html