準不変測度

数学において、測度空間Xからそれ自身への変換Tに関する準不変測度 μ は、大まかに言えば、Tの数値関数で乗算される測度である。重要な例のクラスは、Xが滑らかな多様体M、TがMの微分同相写像、μが局所的にはユークリッド空間上のルベーグ測度を基底とする測度である場合に生じる。この場合、 Tの μ への影響は、局所的にはTの導関数 (プッシュフォワード)のヤコビ行列式の乗算として表現できる。

この考え方を測度論の用語でより正式に表現すると、変換された測度 μ′ のμに関するラドン・ニコディム微分がどこにでも存在するはず、または 2 つの測度が同等（つまり、相互に絶対連続）であるはず、という考え方です。

${\displaystyle \mu '=T_{*}(\mu )\approx \mu .}$

つまり、言い換えれば、T は測度ゼロの集合の概念を保存します。μと同値な測度νの同値クラス全体を考えると、 T はクラス全体を保存し、そのような測度を別のそのような測度にマッピングすると言うことも同じです。したがって、準不変測度の概念は、不変測度クラスと同じです。

一般に、乗算によって測度クラス内を移動する「自由」により、変換が合成されるときにコサイクルが発生します。

たとえば、ユークリッド空間R ⁿ上のガウス測度は、（ルベーグ測度のように）平行移動に対して不変ではありませんが、すべての平行移動に対して準不変です。

Eが可分な バナッハ空間であり、μ がE上の局所有限 ボレル測度で、 Eの元によるすべての変換に対して準不変である場合、 dim( E ) < +∞ であるか、μ が自明な測度μ ≡ 0であることが示されます 。

• キャメロン・マーティン定理 – ヒルベルト空間上のガウス測度（ウィーナー測度）の変換を定義する定理。
• 不変測度