サブファクター

フォン・ノイマン代数の理論では、因子の部分因子は因子であり、を含む部分代数です。部分因子の理論は、結び目理論におけるジョーンズ多項式の発見につながりました 。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle 1}$

通常、は 型の因数とみなされるため、有限のトレースを持ちます。この場合、すべてのヒルベルト空間モジュールは、負でない実数または の次元を持ちます。 サブ因数のインデックスは と定義されます。のトレースのGNS 構成から得られたの表現を 次に示します。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \dim _{M}(H)}$${\displaystyle +\infty}$ ${\displaystyle [M:N]}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \dim _{N}(L^{2}(M))}$${\displaystyle L^{2}(M)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$

これは、が のサブファクタである場合（両方とも型）、インデックスはに対して の形式であるか、少なくとも であることを示します。これらすべての値が発生します。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$${\displaystyle [M:N]}$${\displaystyle 4\cos(\pi /n)^{2}}$${\displaystyle n=3,4,5,...}$${\displaystyle 4}$

最初のいくつかの値 は ${\displaystyle 4\cos(\pi /n)^{2}}$${\displaystyle 1,2,(3+{\sqrt {5}})/2=2.618...,3,3.247...,...}$

が のサブ因子であり、両方とも有限のフォン ノイマン代数である とします 。GNS 構成は、 巡回ベクトル によってが作用するヒルベルト空間を生成します。をサブ空間 への射影とします。すると、と は、をサブ因子として含む、に作用する 新しいフォン ノイマン代数を生成します。へのの包含からへのの包含への移行は、基本構成と呼ばれます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L^{2}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle e_{N}}$${\displaystyle N\Omega }$${\displaystyle M}$${\displaystyle e_{N}}$${\displaystyle \langle M,e_{N}\rangle }$${\displaystyle L^{2}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \langle M,e_{N}\rangle }$

と が両方とも 型の因数であり、がで有限のインデックスを持つ場合、も 型です。さらに、包含関係は同じインデックスを持ちます:および 。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \langle M,e_{N}\rangle }$${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$${\displaystyle [M:N]=[\langle M,e_{N}\rangle :M],}$${\displaystyle tr_{\langle M,e_{N}\rangle }(e_{N})=[M:N]^{-1}}$

が有限指数の型因子の包含であると仮定する。基本構成を繰り返すと包含の塔が得られる。 ${\displaystyle N\subset M}$${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$

${\displaystyle M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \cdots }$

ここで、およびで あり、それぞれは前の代数と射影によって生成されます。これらすべての代数の和集合には、それぞれに対する制限がトレース状態であるトレース状態があり、そのため和集合の閉包は別のタイプのフォン・ノイマン代数です。 ${\displaystyle M_{-1}=N}$${\displaystyle M_{0}=M}$${\displaystyle M_{n+1}=\langle M_{n},e_{n+1}\rangle }$${\displaystyle tr}$${\displaystyle M_{n}}$${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$${\displaystyle M_{\infty }}$

代数には、パラメータ でTemperley–Lieb 関係を満たす射影のシーケンスが含まれます。さらに、 によって生成される代数は、が自己随伴である -代数であり、がまでによって生成される代数内にあるときとなります。これらの追加条件が満たされるときは常に、代数はパラメータ で Temperly–Lieb–Jones 代数と呼ばれます。これは、 -同型を除いて一意であることが示されます。が に対してそれらの特別な値、または より大きい値を取るときのみ、代数は存在します。 ${\displaystyle M_{\infty }}$${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},...,}$${\displaystyle \lambda =[M:N]^{-1}}$${\displaystyle e_{n}}$${\displaystyle {\rm {C}}^{\star }}$${\displaystyle e_{n}}$${\displaystyle tr(xe_{n})=\lambda tr(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{n-1}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \star }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle 4cos(\pi /n)^{2}}$${\displaystyle n=3,4,5,...}$${\displaystyle 4}$

が有限指数の型因子の包含であると仮定します。高次の相対交換項を および とします。 ${\displaystyle N\subset M}$${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,+}=N'\cap M_{n-1}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,-}=M'\cap M_{n}}$

サブファクターの標準不変量は次のグリッドです。 ${\displaystyle N\subset M}$

${\displaystyle \mathbb {C} ={\mathcal {P}}_{0,+}\subset {\mathcal {P}}_{1,+}\subset {\mathcal {P}}_{2,+}\subset \cdots \subset {\mathcal {P}}_{n,+}\subset \cdots }$

${\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cup \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cup \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cup }$

${\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbb {C} \ ={\mathcal {P}}_{0,-}\subset {\mathcal {P}}_{1,-}\subset \cdots \subset {\mathcal {P}}_{n-1,-}\subset \cdots }$

これは従順な場合には完全な不変量である。^{[1]標準的な不変量の図式的な公理化は}平面代数の概念によって与えられる。

有限指数のサブファクタは、次の同等の条件のいずれかが満たされる場合、 既約ではないと言われます。${\displaystyle N\subset M}$

• ${\displaystyle L^{2}(M)}$は双加群として既約ではない。${\displaystyle (N,M)}$
• 相対交換式 は です。${\displaystyle N'\cap M}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

この場合、は双加群とその共役双加群を定義します。Jones (1983) で説明され、Alain Connesの一般的なフォン ノイマン代数に対する以前の定義にちなんでConnes 融合と呼ばれることが多い相対テンソル積は、次のテンソル積を既約成分に分解することにより、、 、上の新しい双加群を定義するために使用できます。 ${\displaystyle L^{2}(M)}$${\displaystyle (N,M)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (M,N)}$${\displaystyle X^{\star }}$${\displaystyle (N,M)}$${\displaystyle (M,N)}$${\displaystyle (M,M)}$${\displaystyle (N,N)}$

${\displaystyle X\boxtimes X^{\star }\boxtimes \cdots \boxtimes X,\,\,X^{\star }\boxtimes X\boxtimes \cdots \boxtimes X^{\star },\,\,X^{\star }\boxtimes X\boxtimes \cdots \boxtimes X,\,\,X\boxtimes X^{\star }\boxtimes \cdots \boxtimes X^{\star }.}$

このようにして生じる既約な双加群と加群は、二部グラフである主グラフの頂点を形成します。これらのグラフの有向辺は、右側でとでテンソル化されるときに既約な双加群が分解される方法を記述します。双対主グラフは、と加群を使用して同様の方法で定義されます。 ${\displaystyle (M,M)}$${\displaystyle (M,N)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\star }}$${\displaystyle (N,N)}$${\displaystyle (N,M)}$

任意の双加群は 2 つの因子の可換作用に対応するため、各因子は他の因子の可換項に含まれ、したがって部分因子を定義します。双加群が既約である場合、その次元はこの部分因子のインデックスの平方根として定義されます。次元は、既約双加群の直和に加法的に拡張されます。これは、コンヌ融合に関して乗法的です。

主グラフとその双対が有限である場合、すなわち、これらの分解において有限個の既約双加群のみが発生する場合、サブファクタは有限の深さを持つと言われる。この場合、およびが超有限であれば、ソリン・ポパは包含が モデルに同型であること を示した。${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N\subset M}$

${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathrm {End} \,X^{\star }\boxtimes X\boxtimes X^{\star }\boxtimes \cdots )^{\prime \prime }\subset (\mathrm {End} \,X\boxtimes X^{\star }\boxtimes X\boxtimes X^{\star }\boxtimes \cdots )^{\prime \prime },}$

ここで、因子は標準トレースに関する GNS 構成から取得されます。 ${\displaystyle {\rm {II}}_{1}}$

上記の関係を持つ要素によって生成される代数は、テンパリー・リーブ代数と呼ばれます。これは、編組群の群代数の商であるため、テンパリー・リーブ代数の表現は編組群の表現を与え、それはしばしば結び目の不変量を与えます。 ${\displaystyle e_{n}}$

• Jones、Vaughan FR (1983)、「Index for subfactors」、Inventiones Mathematicae、72 : 1–25、Bibcode :1983InMat..72....1J、doi :10.1007/BF01389127
• Wenzl, HG (1988)、「An 型ヘッケ代数と部分因数」、Invent. Math.、92 (2): 349–383、Bibcode :1988InMat..92..349W、doi :10.1007/BF01404457、MR  0696688
• Jones, Vaughan FR ; Sunder, Viakalathur Shankar (1997).サブファクター入門. ロンドン数学会講義ノートシリーズ. 第234巻. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/CBO9780511566219. ISBN 0-521-58420-5. MR  1473221。
• 作用素環論III 竹崎正人著 ISBN 3-540-42913-1 
• ワッサーマン、アントニー。「ヒルベルト空間上の演算子」。