有限フォン・ノイマン代数

数学において、有限フォン ノイマン代数は、すべての等長変換がユニタリであるフォン ノイマン代数です。言い換えると、有限フォン ノイマン代数における演算子Vについて、 であれば となります。射影の比較理論では、恒等演算子はフォン ノイマン代数のどの適切な部分射影とも (マレー-フォン ノイマン) 同値ではありません。 ${\displaystyle V^{*}V=I}$${\displaystyle VV^{*}=I}$

中心を持つ有限フォン ノイマン代数を と表します。有限フォン ノイマン代数の基本的な特徴の 1 つは、中心値トレースの存在です。フォン ノイマン代数が有限であるためには、次の特性を持つ 正規正有界写像が存在する必要があります。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \tau :{\mathcal {M}}\to {\mathcal {Z}}}$

• ${\displaystyle \tau (AB)=\tau (BA),A,B\in {\mathcal {M}}}$、
• ならば、​​${\displaystyle A\geq 0}$${\displaystyle \tau (A)=0}$${\displaystyle A=0}$
• ${\displaystyle \tau (C)=C}$のために、${\displaystyle C\in {\mathcal {Z}}}$
• ${\displaystyle \tau (CA)=C\tau (A)}$およびについて。${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle C\in {\mathcal {Z}}}$

有限次元フォン・ノイマン代数は、ウェッダーバーンの半単純代数理論を使用して特徴付けることができます。C ^{n × n を}複素要素を持つn × n行列とします。フォン・ノイマン代数 Mは、 C ^{n × n}の自己随伴部分代数であり、M にはC ^{n × n}の恒等演算子Iが含まれます。

上記で定義したM はすべて半単純代数、つまり冪零イデアルを含まない代数です。M ≠ 0 がMの冪零イデアルに含まれると仮定します。仮定によりM* ∈ Mなので、半正定値行列M*M がその冪零イデアルに含まれることになります。これは、あるkに対して ( M*M ) ^k = 0 であることを意味します。したがって、M*M = 0、つまりM = 0 です。

フォン・ノイマン代数Mの中心はZ ( M )で表されます。Mは自己随伴なので、Z ( M ) 自体は (可換な) フォン・ノイマン代数です。フォン・ノイマン代数Nは、 Z ( N ) が 1 次元の場合、つまりZ ( N ) が単位元Iの倍数で構成される場合、因子と呼ばれます。

定理すべての有限次元フォン・ノイマン代数Mはm個の因子の直和であり、m はZ ( M )の次元である。

証明：ウェッダーバーンの半単純代数理論によれば、Z ( M ) には有限直交冪等元（射影）の集合 { P _i }があり、 i ≠ jに対してP _i P _j = 0 、 Σ P _i = I、かつ

${\displaystyle Z(\mathbf {M} )=\bigoplus _{i}Z(\mathbf {M} )P_{i}}$

ここで、各Z ( M )P _{i は}可換単純代数です。すべての複素単純代数は、あるkに対して完全行列代数C ^{k × k}と同型です。しかし、Z ( M )P _{i は}可換であるため、1 次元です。

射影P _{i は}M を自然な方法で「対角化」します。 M ∈ Mの場合、M はM = Σ MP _iに一意に分解できます。したがって、

${\displaystyle {\mathbf {M} }=\bigoplus _{i}{\mathbf {M} }P_{i}.}$

Z ( M P _i ) = Z ( M )P _iであることがわかります。したがって、Z ( M P _i ) は 1 次元であり、各M P _{i は}因数です。これは主張を証明します。

一般的なフォン・ノイマン代数では、直和は直積分に置き換えられます。上記はフォン・ノイマン代数の中心分解の特殊なケースです。

• Kadison, RV; Ringrose, JR (1997).作用素代数理論の基礎、第2巻：上級理論。AMS。p. 676。ISBN 978-0821808207。

• シンクレア、AM; スミス、RR (2008)。有限フォンノイマン代数とマサス。ケンブリッジ大学出版局。p. 410。ISBN 978-0521719193。