超有限タイプII因子

数学では、同型性まで正確に 2 つの分離して作用する超有限タイプ II 因子が存在する。1 つは無限でもう 1 つは有限である。マレーとフォン ノイマンは、同型性まで、タイプ II ₁の因子であり、かつ超有限でもある唯一のフォン ノイマン代数が存在することを証明した。これは超有限タイプ II ₁因子と呼ばれる。タイプ II ₁の因子は他にも無数に存在する。コンヌは、無限の因子も唯一であることを証明した。

• 無限共役類特性を持つ離散群のフォン・ノイマン群代数はタイプII ₁の因子であり、群が従順かつ可算であれば因子は超有限である。局所有限群は従順であるので、これらの特性を持つ群は多数存在する。たとえば、有限個以外のすべての要素を固定する可算無限集合のすべての順列の無限対称群のフォン・ノイマン群代数は、超有限タイプ II ₁因子を与える。
• 超有限タイプ II ₁因子は、確率空間上の可算従属群のエルゴード自由測度保存作用に対する群測度空間構成からも生じます。
• 可算な数の I _n型の因子のトレース状態に関する無限テンソル積は、超有限 II 1 型因子です。n = ₂のとき、これは無限可分ヒルベルト空間のクリフォード代数と呼ばれることもあります。
• p がII 型の超有限フォン・ノイマン代数Aの任意の非ゼロ有限射影である場合、pAp はII 型の超有限₁因子です。同様に、Aの基本群は正の実数の群です。これは直接見るのが難しい場合がよくあります。しかし、Aが I _n型の因子の無限テンソル積である場合は明らかです。ここで、n は 1 より大きいすべての整数に対して無限回実行されます。pを、トレース状態が または である射影p _nの無限テンソル積と同等と見なすだけです。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1-1/n}$

超有限 II ₁因子R は、次の意味で一意に最小の無限次元因子です。つまり、 R は他の任意の無限次元因子に含まれ、Rに含まれる任意の無限次元因子はRと同型です。

Rの外部自己同型群は、正の整数pと複素数p乗根 1 からなるペアでインデックス付けされた、可算な数の共役類を持つ無限単純群です。

_{超有限 II 1}因子の射影は連続した幾何学を形成します。

タイプ II _∞の因数は他にもありますが、同型性を除いて唯一の超有限因数が存在します。これは、有界演算子を定義する超有限タイプ II ₁因数の要素を持つ無限正方行列で構成されます。

• サブファクター

• A. Connes, 単射因子の分類 The Annals of Mathematics 2nd Ser., Vol. 104, No. 1 (Jul., 1976), pp. 73–115
• FJ Murray、J. von Neumann、「演算子の環についてIV Ann. of Math. (2)」、44 (1943) pp. 716–808。これは、II ₁型の近似有限因子がすべて同型であることを示しています。