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数学の一分野である関数解析において、 C*-代数Aが与えられた場合、ゲルファント・ナイマーク・シーガル構成は、Aの巡回 *-表現とA上の特定の線型関数(状態と呼ばれる) との間の対応を確立します。この対応は、状態から *-表現を明示的に構成することによって示されます。この構成は、イスラエル・ゲルファント、マーク・ナイマーク、アーヴィング・シーガルにちなんで名付けられました。
状態と表現
ヒルベルト空間H上のC*-代数Aの* -表現は、 A からH上の有界作用素の代数へのπの写像であり、
- πはA上の反転を演算子上の反転に持ち込む環準同型である
- π は非退化です。つまり、ベクトル π( x ) ξの空間は、x がA を通り、 ξ がHを通るときに稠密です。Aが単位元を持つ場合、非退化とは π が単位を保存すること、つまり π がAの単位元をH上の単位元演算子にマッピングすることを意味します。
C*-代数A上の状態はノルム1の正の線形関数fである。Aが乗法単位元を持つ場合、この条件はf (1) = 1に等しい。
ヒルベルト空間H上の C*-代数Aの表現 π に対して、元 ξ は、ベクトル の集合が
はHにおいてノルム稠密であり、この場合 π は巡回表現と呼ばれる。既約表現の非ゼロベクトルはすべて巡回的である。しかし、一般の巡回表現の非ゼロベクトルは巡回的でない可能性がある。
GNS構造
π をヒルベルト空間H上の C*-代数Aの *-表現とし、ξ を π の単位ノルム巡回ベクトルとします。このとき、は A の状態です。
逆に、適切な標準表現の下では 、 Aのすべての状態は上記のようなベクトル状態として見ることができます。
定理. [1] — Aの状態 ρ が与えられたとき、 Aの任意のaに対して、 区別された単位巡回ベクトル ξ を持つヒルベルト空間Hに作用するAの *-表現 π が存在する。
証拠
- ヒルベルト空間Hの構築
A上に半正定値セスクイリニア形式を定義する
三角不等式により、ρ( a*a )=0を満たすAの退化元aは、 Aのベクトル部分空間Iを形成します。C*代数的議論により、IがAの左イデアル（ρの左核として知られる）であることを示すことができます。実際、これはρのヌル空間における最大の左イデアルです。ベクトル部分空間IによるAの商空間は、内積が で定義される内積空間であり、コーシー・シュワルツ不等式により明確に定義されます。この内積によって誘導されるノルムにおけるA / Iのコーシー完備化はヒルベルト空間であり、これをHと表記します。 - 表現πの構築 AのA / Iへ の作用 π をAのA / Iへの作用π( a )( b + I ) = ab + Iと定義します。Iが左イデアルであることを示す同じ議論は、π( a ) がA / I上の有界作用素であり、したがって完備化に一意に拡張できることも意味します。ヒルベルト空間上の作用素の随伴の定義を解明すると、π は * 保存であることがわかります。これは * 表現 π の存在を証明します。
- 単位ノルム巡回ベクトルξの識別
A が乗法的単位元 1 を持つ場合、 1 を含む GNS ヒルベルト空間Hの同値類 ξが上記の表現の巡回ベクトルであることは明らかです。Aが非単位元である場合、Aの近似単位元{ e λ }を取ります。正の線形関数は有界であるため、ネット { e λ }の同値類はH内のあるベクトル ξ に収束し、これは π の巡回ベクトルです。
GNSヒルベルト空間H 上の内積の定義から、状態ρはH上のベクトル状態として回復できることは明らかです。これは定理を証明しています。
上記の定理の証明においてAの状態から *-表現を生成するために使用される方法は、GNS 構成と呼ばれます。 C*-代数Aの状態については、以下の定理に示すように 、対応する GNS 表現は条件によって本質的に一意に決定されます。
定理。[2] — Aの状態 ρ が与えられたとき、 π、 π' をそれぞれヒルベルト空間H、H ′上のAの *-表現とし、それぞれが単位ノルム巡回ベクトル ξ ∈ H、 ξ' ∈ H ′を持ち、すべての に対してとなるものとします。このとき、 π、 π' はユニタリ同値な *-表現、すなわち、HからH ′へのユニタリ演算子Uが存在し、 Aのすべてのaに対してπ'( a ) = Uπ( a )U* が成立します。ユニタリ同値性を実装する演算子Uは、 Aのすべてのaに対して π( a )ξ を π'( a )ξ'に写像します。
GNS構築の重要性
GNS 構成は、C*-代数を演算子の代数として特徴付けるゲルファント・ナイマーク定理の証明の中核です。C*-代数は十分な数の純粋状態 (以下を参照) を持つため、対応する既約 GNS 表現の直和は忠実です。
すべての状態の対応する GNS 表現の直和は、Aの普遍表現と呼ばれます。 Aの普遍表現には、すべての巡回表現が含まれます。すべての *-表現は巡回表現の直和であるため、Aのすべての *-表現は、普遍表現のコピーの合計の直和になります。
Φ が C*-代数Aの普遍表現である場合、弱作用素位相における Φ( A )の閉包はAの包絡フォンノイマン代数と呼ばれます。これは二重双対A**と同一視できます。
還元不可能性
また、既約な*-表現と凸状態集合の極点との関係も重要です。H上の表現πは、 H自身と自明な部分空間{0}以外のすべての演算子π( x )に対して不変なHの閉部分空間が存在しない場合にのみ既約です。
定理 — 単位元を持つC* 代数Aの状態集合は、弱 * 位相の下ではコンパクトな凸集合です。一般に、( A が単位元を持つかどうかに関係なく) ノルム ≤ 1 の正関数の集合はコンパクトな凸集合です。
これら2つの結果は、バナッハ・アラオグルの定理から直接導かれます。
単位可換なケースでは、あるコンパクトなX上の連続関数のC*-代数C ( X ) に対して、リース・マルコフ・角谷表現定理によれば、ノルム ≤ 1 の正関数は、総質量 ≤ 1 のX上のボレル正測度とまったく同じである。クライン・ミルマン定理から、極限状態はディラック質点測度であることが 分かる。
一方、C ( X ) の表現は、1 次元の場合に限り既約です。したがって、測度 μ に対応するC ( X ) の GNS 表現は、μ が極限状態の場合に限り既約です。これは、C* 代数全般に当てはまります。
定理 — A をC*-代数とします。π が単位ノルム巡回ベクトル ξ を持つ ヒルベルト空間H上のAの *-表現である場合、対応する状態fがノルム ≤ 1 のA上の正の線形関数の凸集合の極点である場合に限り、π は既約です。
この結果を証明するには、まず、π(A)'で表されるπ(A)の交換式が単位元のスカラー倍数で構成される場合にのみ、表現が既約であることに注意します。
fが支配するA上の任意の正の線形関数g は、π( A )'内の 何らかの正の演算子T gに対して、演算子順序が 0 ≤ T ≤ 1 である形式になります 。これはラドン・ニコディムの定理の一種です。
このようなgに対して、 f を正の線形関数の和として書くことができます: f = g + g' 。したがって、 π は π g ⊕ π g'の部分表現とユニタリ同値です。これは、 π g がπ とユニタリ同値である場合、つまりgがfのスカラー倍である場合に限り、 π が既約であることを示しており、これは定理を証明しています。
極限状態は通常、純粋状態と呼ばれます。状態が純粋状態となるのは、それが状態の凸集合において極限状態である場合のみであることに注意してください。
C*-代数に関する上記の定理は、近似的な恒等式を持つB*-代数のコンテキストではより一般的に有効です 。
一般化
完全正値写像を特徴付けるStinespring因数分解定理は、 GNS 構成の重要な一般化です。
歴史
ゲルファンドとナイマークによるゲルファンド・ナイマーク定理に関する論文は1943年に出版された。[3]シーガルはこの研究に暗黙的に含まれる構成を認識し、それを明確な形で提示した。[4]
1947年の論文で、シーガルはヒルベルト空間上の作用素の代数で記述できるあらゆる物理システムに対して、C*-代数の既約表現を考慮すれば十分であることを示した。量子論では、これはC*-代数が観測可能量によって生成されることを意味する。シーガルが指摘したように、これは以前にジョン・フォン・ノイマンによって、非相対論的シュレーディンガー-ハイゼンベルク理論の特定のケースについてのみ示されていた。[5]
参照
- 循環的および分離的ベクトル
- KSGNS建設
参考文献
- ウィリアム・アーヴェソン『C*-代数への招待』Springer-Verlag、1981年
- リチャード・カディソン『作用素代数理論の基礎』第1巻：初等理論、アメリカ数学会。ISBN 978-0821808191 。
- Jacques Dixmier、Les C*-algèbres et leurs Représentations、Gauthier-Villars、1969。
英語翻訳: Dixmier、Jacques (1982)。C*-代数。北オランダ。ISBN 0-444-86391-5。 - トーマス・ティメルマン、「量子群と双対性への招待：ホップ代数から乗法ユニタリーまで、そしてその先へ」、ヨーロッパ数学協会、2008年、ISBN 978-3-03719-043-2 – 付録12.1、セクション：GNS構築（p. 371）
- ステファン・ヴァルトマン：変形量子化の表現理論について、変形量子化：理論物理学者と数学者の会議議事録、ストラスブール、2001 年 5 月 31 日～6 月 2 日（生成文法の研究）、Gruyter、2002 年、ISBN 978-3-11-017247-8、p. 107～134 – セクション 4. GNS 構成（p. 113）
- G. Giachetta、L. Mangiarotti、G. Sardanashvily (2005)。量子力学における幾何学的および代数的位相的手法。World Scientific。ISBN 981-256-129-3。
{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク) - 酒井 祥一郎、C*-代数および W*-代数、Springer-Verlag 1971. ISBN 3-540-63633-1
インライン参照
- ^ Kadison, RV、定理4.5.2、作用素代数理論の基礎、第1巻：初等理論、アメリカ数学会。ISBN 978-0821808191
- ^ Kadison, RV、命題 4.5.3、作用素代数理論の基礎、第 1 巻：初等理論、アメリカ数学会。ISBN 978-0821808191
- ^ IM Gelfand、MA Naimark ( 1943 )。「ヒルベルト空間上の作用素環へのノルム環の埋め込みについて」。Matematicheskii Sbornik。12 ( 2): 197–217。（Google ブックス、3～20 ページも参照）
- ^ Richard V. Kadison :ゲルファント・ネイマルクの定理に関する注記。Robert C. Doran (編) 著「C*-代数: 1943–1993。50 周年記念」、C*-代数理論の最初の 50 年を記念した AMS 特別セッション、1993 年 1 月 13 ～ 14 日、テキサス州サンアントニオ、アメリカ数学会、pp. 21 ～ 54、ISBN 0-8218-5175-6 (Google ブックスから入手可能、pp. 21 以降を参照)
- ^ IE Segal (1947). 「作用素代数の既約表現」(PDF) . Bull. Am. Math. Soc . 53 (2): 73–88. doi : 10.1090/s0002-9904-1947-08742-5 .