忘れっぽい関数

数学の圏論の分野では、忘却関手（ストリッピング関手とも呼ばれる）は、出力にマッピングする「前に」入力の構造または特性の一部またはすべてを「忘れる」または削除します。与えられたシグネチャの代数構造の場合、これはシグネチャを削減することによって表現される場合があります。新しいシグネチャは古いシグネチャを編集した形式です。 シグネチャが空のリストのままの場合、関手は単に構造の基礎となる集合を取るだけです。 数学の多くの構造は、追加の構造を持つ集合で構成されているため、基礎となる集合にマッピングする忘却関手が最も一般的なケースです。

一例として、可換環のカテゴリからの忘却関数がいくつかあります。普遍代数の言語で記述される（単位）環は、特定の公理を満たす順序付きタプルです。ここで、 と は集合 上の二項関数、は加法逆 に対応する単項演算、 0 と 1 は 2 つの二項演算の恒等式を与える零項演算です。 1 を削除すると、単位のない環のカテゴリへの忘却関数が得られます。これは、単に単位を「忘れる」だけです。 と 1 を削除すると、アーベル群のカテゴリへの関数が得られ、これは各環にの基礎となる加法アーベル群を割り当てます。環の各射には、基礎となる群間の加算の射としてのみ考えられる同じ関数が割り当てられます。すべての演算を削除すると、基礎となる集合 への関数が得られます。 ${\displaystyle (R,+,\times ,a,0,1)}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \times }$${\displaystyle R}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \times }$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

「構造を忘れる」忘却関数と「特性を忘れる」忘却関数を区別することは有益です。たとえば、上記の可換環の例では、一部の演算を削除する関数に加えて、一部の公理を忘れる関数があります。可換公理を忘れるがすべての演算を保持する、カテゴリCRingからRingへの関数があります。場合によっては、オブジェクトに、基礎となる集合に関して厳密に定義されていない追加の集合が含まれることがあります (この場合、どの部分を基礎となる集合と見なすかは好みの問題ですが、実際にはあいまいになることはほとんどありません)。これらのオブジェクトには、より一般的な追加の集合を忘れる忘却関数があります。

数学で研究される最も一般的なオブジェクトは、基礎集合と、それらの集合上の構造の追加集合（基礎集合上の演算、基礎集合の特権部分集合など）として構築され、いくつかの公理を満たす場合があります。これらのオブジェクトの場合、一般的に考えられている忘却関手は次のとおりです。を集合に基づく任意のカテゴリ、たとえばグループ（要素の集合）または位相空間（「点」の集合）とします。通常どおり、のオブジェクトについて を、の射について を記述します。次の規則を考えます。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \operatorname {Fl} ({\mathcal {C}})}$

基礎となる集合のすべてについて${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}}),A\mapsto |A|=}$${\displaystyle A,}$

射内のすべての に対して、は集合の写像として表されます。${\displaystyle u}$${\displaystyle \operatorname {Fl} ({\mathcal {C}}),u\mapsto |u|=}$${\displaystyle u}$

すると、関数は、から集合 のカテゴリSetへの忘却関数になります。 ${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

忘却関手はほとんどの場合忠実です。具体的なカテゴリには、集合のカテゴリに対する忘却関手があります。実際、忘却関手はそのカテゴリに忠実な関手を受け入れるカテゴリとして 定義できます。

公理だけを忘れる忘却関手は常に完全に忠実です。なぜなら、公理を満たすオブジェクト間の構造を尊重するすべての射は、自動的に公理も尊重するからです。構造を忘れる忘却関手は完全である必要はありません。一部の射は構造を尊重しません。しかし、構造を尊重する異なる射は、構造が忘れられても依然として異なるため、これらの関手は依然として忠実です。余分なセットを忘れる関手は忠実である必要はありません。なぜなら、それらの余分なセットの構造を尊重する異なる射は、基礎となるセット上で区別できない可能性があるからです。

形式論理の言語では、第一種の関手は公理を削除し、第二種の関手は述語を削除し、第三種の関手は型を削除します^{[明確化が必要]}。第一種の例としては、忘却関手Ab → Grpがあります。第二種の例としては、忘却関手Ab → Setがあります。第三種の関手は、関手Mod → Abで、Mod は任意の環上のすべての加群のファイバーカテゴリです。これを確認するには、基になる環の間で、環の作用を変更しない環準同型を選択するだけです。忘却関手の下では、この射から恒等写像が得られます。 Mod内のオブジェクトは、環とアーベル群を含むタプルであるため、どちらを忘れるかは好みの問題であることに注意してください。

忘却関数は、左随伴関数、つまり「自由な」構成を持つ傾向があります。例えば、次のようになります。

• 自由加群: ( -加群のカテゴリ)から への忘却関手は左随伴 を持ち、 を持ち、自由-加群は基底を持ちます。${\displaystyle \mathbf {Mod} (R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbf {集合} }$${\displaystyle \operatorname {無料} _{R}}$${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Free} _{R}(X)}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$
• フリーグループ
• 自由格子
• テンソル代数
• 自由カテゴリ、カテゴリからクィーバーへの忘却関手に随伴する
• 普遍包絡代数

より詳細なリストについては、(Mac Lane 1997) を参照してください。

これは随伴の基本的な例なので、詳しく説明します。随伴性とは、集合Xとオブジェクト (たとえば、Rモジュール) Mが与えられた場合、集合の マップがモジュールのマップに対応することを意味します。つまり、すべての集合のマップはモジュールのマップを生成し、すべてのモジュールのマップは集合のマップから生成されます。 ${\displaystyle X\to |M|}$${\displaystyle \operatorname {自由} _{R}(X)\to M}$

ベクトル空間の場合、これは次のように要約されます。「ベクトル空間間の写像は基底を送る場所によって決定され、基底はどこにでも写像できます。」

象徴的に：

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {Mod} _{R}}(\operatorname {Free} _{R}(X),M)=\operatorname {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\operatorname {Forget} (M)).}$

自由忘却随伴の単位は「基底の包含」です。 ${\displaystyle X\to \operatorname {Free} _{R}(X)}$

体のカテゴリであるFld は、随伴を持たない忘却関手の例を提供します。与えられた集合に対して自由な普遍的性質を満たす体は存在しません。

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