中央キャリア

フォン・ノイマン代数の文脈では、射影Eの中心キャリアは、フォン・ノイマン代数においてE を支配する最小の中心射影です。中心サポートまたは中心カバーとも呼ばれます。

L ( H ) をヒルベルト空間H上の有界作用素、M ⊂ L ( H ) をフォン・ノイマン代数、M'をMの可換子とします。Mの中心はZ ( M ) = M' ∩ M = { T ∈ M | TM = MT for all M ∈ M }です。 Mへの射影Eの中心キャリアC ( E ) は次のように定義されます。

C ( E ) = ∧ { F ∈ Z ( M ) | F は射影であり、F ≥ E }。

記号∧はZ ( M )の射影に対する格子演算を表す。F1∧F2_{は閉部分空間}Ran ₍ F1 )∩Ran( _F2 )への射影で_ある。

アーベル代数Z ( M ) は 2 つのフォン ノイマン代数の交差であるため、フォン ノイマン代数でもあります。したがって、C ( E ) はZ ( M )に含まれます。

Mをその因子の直和（より正確には直積分）と考えると、中心射影は因子（の測定可能な集合）の恒等演算子の直和（直積分）である射影です。Eが単一の因子に限定されている場合、C ( E ) はその因子の恒等演算子です。非公式には、C ( E ) は恒等演算子Iの直和（Iは因子内にあり、I · E ≠ 0 ）であると予想されます。

射影C ( E )はより明示的に記述することができる。RanC ( E )はMRan ( E )によって生成される閉部分空間であることが示される。

Nがフォン・ノイマン代数で、EがNに必ずしも属さない射影で、範囲K = Ran( E ) を持つとします。Eを支配するN内の最小の中心射影は、 N' Kによって生成される閉部分空間 [ N' K ]への射影とまったく同じです。記号で表すと、

F' = ∧ { F ∈ N | Fは射影であり、F ≥ E }

すると Ran( F' ) = [ N' K ] となる。[ N' K ] ⊂ Ran( F' ) は可換の定義から導かれる。一方、[ N' K ] はN'の任意のユニタリUに対して不変である。したがって、[ N' K ]への射影は( N' )' = Nとなる。するとF'の最小性から Ran( F' ) ⊂ [ N' K ] が導かれる。

ここで、 EがMの射影である場合、上記をフォン・ノイマン代数Z ( M )に適用すると、

Ran C ( E ) = [ Z ( M )' Ran( E ) ] = [ ( M' ∩ M )' Ran( E ) ] = [ M Ran( E )]。

上記の説明から、いくつかの簡単な結果を推測することができます。EとF がフォンノイマン代数M の射影であると仮定します。

命題 ETF = 0は、C ( E )とC ( F )が直交する場合、つまりC ( E ) C ( F ) = 0の場合に限り、M内のすべてのTに対して成り立ちます。

証拠：

M内のすべてのTに対してETF = 0 です。

≡ [ M ラン( F )] ⊂ケル( E )。

前のセクションの議論により、≡ C ( F ) ≤ 1 - E （1はMの単位）となる。

≡ E ≤ 1 - C ( F )。

1 - C ( F ) はE を支配する中心射影であるため、≡ C ( E ) ≤ 1 - C ( F ) となる。

これはその主張を証明します。

言い換えると、次のことが当てはまります。

系フォン・ノイマン代数Mの2 つの射影EとFには、 C ( E ) C ( F ) ≠ 0の場合にマレー・フォン・ノイマン同等の 2 つの非ゼロ部分射影が含まれます。

証拠：

C ( E ) C ( F )≠0です。

⇒ M内のいくつかのTに対してETF ≠ 0 となる。

⇒ ETFは、 M内の何らかの部分等長変換Uと正演算子Hに対して極分解 UHを持つ。

⇒ Ran ( U ) = Ran ( ETF ) ⊂ Ran ( E )。また、Ker ( U ) = Ran ( H ) ^⊥ = Ran ( ETF ) ^⊥ = Ker ( ET*F ) ⊃ Ker ( F ) であるため、Ker ( U )) ^⊥ ⊂ Ran ( F )。

⇒ 2つの同等の射影UU*とU*Uは、UU* ≤ EおよびU*U ≤ Fを満たします。

特に、M が因子である場合、UU* ≤ EかつU*U ≤ Fとなるような部分等長写像U ∈ Mが存在します。この事実と最大性に関する議論を使用すると、 Mが因子である場合、 Mの射影族上のマレー・フォン・ノイマン半順序 «は全順序になることが推測できます。

命題（比較可能性）Mが因子であり、E、F∈Mが射影である場合、E «  FまたはF «  Eのいずれかです。

証拠：

~ がマレー・フォン・ノイマン同値関係を表すものとします。典型元が集合 { ( E _i , F _i ) } であり、直交集合 { E _i } と { F _i }がE _i ≤ E、F _i ≤ F、およびE _i ~ F _{i を}満たすような族 S について考えます。族S は包含によって部分的に順序付けられ、上記の系はそれが空でないことを示しています。ゾルンの補題は、最大元 { ( E _j , F _j ) } の存在を保証します。最大性は、E = Σ E _jまたはF = Σ F _jのいずれかを保証します。 ~ の可算加法性は、E _j ~ Σ F _jを意味します。したがって、命題は成り立ちます。

Mが因数である という仮定がなければ、次のようになります。

命題（一般化された比較可能性）Mがフォンノイマン代数であり、E、F∈Mが射影である場合、EP « FPかつ F（1 - P）«  E（1- P ）となる中心射影P∈Z（M ）が存在する。

証拠：

S は前の命題と同じものとし、再び最大元 { ( E j , F j ) } について考えます。Rと_Sは「_剰余」を表します: R = E - Σ E _jおよびS = F - Σ F _j。最大性と系により、MのすべてのTに対してRTS = 0 となります。したがって、C ( R ) C ( S ) = 0 です。特に、R · C ( S ) = 0 およびS · C ( S ) = 0 です。したがって、 C ( S )による乗算により、Eから剰余Rが除去され、 FにはSが残ります。より正確には、E · C ( S ) = (Σ E _j + R ) · C ( S ) = (Σ E _j ) · C ( S ) ~ (Σ F _j ) · C ( S ) ≤ (Σ F _j + S ) · C ( S ) = F · C ( S ) です。これは、 C ( S ) が目的の特性を備えた中心射影であることを示しています。

• B. Blackadar, Operator Algebras、Springer、2006年。
• S. Sakai , C*-代数とW*-代数, Springer, 1998年。