遺伝性の指輪

数学、特にモジュール理論として知られる抽象代数の分野では、環Rが遺伝的であるとは、 R上の射影モジュールのすべてのサブモジュールが再び射影的であるときである。これが有限生成サブモジュールにのみ要求される場合、それは半遺伝的であると呼ばれる。

非可換環 Rの場合、左遺伝性、左半遺伝性という用語と、それらの右側バージョンは、環の片側の性質を区別するために使用されます。左 (半) 遺伝性であるためには、射影左 R加群のすべての (有限生成) サブモジュールが射影的でなければなりません。同様に、右 (半) 遺伝性であるためには、射影右 R加群のすべての (有限生成) サブモジュールが射影的でなければなりません。環が左 (半) 遺伝性であっても右 (半) 遺伝性ではないことは可能であり、その逆も同様です。

• 環Rが左（半）遺伝的であるための必要十分条件は、Rのすべての（有限生成）左イデアルが射影加群であることである。^{[1] [2]}
• 環Rが左遺伝的であるためには、すべての左加群の射影分解の長さが最大で 1 である必要があります。これは、左グローバル次元が最大で 1 であると言うことと同等です。したがって、やなどの通常の導来関手はに対して自明です。${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{i}}$${\displaystyle \mathrm {トール} _{i}^{R}}$${\displaystyle i>1}$

• 半単純環は、同値な定義により左遺伝と右遺伝である。すなわち、すべての左イデアルと右イデアルはRの和分であり、したがって射影的である。同様に、フォン・ノイマン正則環では、すべての有限生成左イデアルと右イデアルはRの直和分であり、したがってフォン・ノイマン正則環は左半遺伝と右半遺伝である。
• 領域R内の任意の非ゼロ元xに対して、写像 を介して成り立ちます。したがって、任意の領域において、主右イデアルは自由であり、したがって射影的です。これは、領域 が右リカート環であるという事実を反映しています。したがって、Rが右ベズー領域であり、有限生成右イデアルが主である場合、R の有限生成右イデアルはすべて射影的であり、したがってRは右半遺伝的となります。最後に、Rが主右イデアル領域であると仮定すると、すべての右イデアルは射影的であり、Rは右遺伝的となります。 ${\displaystyle R\cong xR}$${\displaystyle r\mapsto xr}$
• 可換遺伝整域はデデキント整域と呼ばれます。可換半遺伝整域はプリューファー整域と呼ばれます。
• (左)遺伝環の重要な例として、箙の経路代数が挙げられる。これは、経路代数上のモジュールの標準分解(長さ 1)が存在することの結果である。
• 三角マトリックスリングは 右遺伝性で左半遺伝性ですが、左遺伝性ではありません。${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}}$
• S が直和項ではないイデアルIを持つフォン・ノイマン正則環である場合、三角行列環は左半遺伝的であるが、右半遺伝的ではない。${\displaystyle {\begin{bmatrix}S/I&S/I\\0&S\end{bmatrix}}}$

• 左遺伝環Rに対して、自由左R加群のすべての部分加群はRの左イデアルの直和に同型であり、したがって射影的である。^[2]

• Crawley-Boevey, William、Quiver Representation に関する注記(PDF) 、 2003 年 5 月 2 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ
• ラム・ツィット・ユエン（1999）「モジュールと環に関する講義」、大学院数学テキスト第189号、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98428-5、MR  1653294、Zbl  0911.16001
• オズボーン、M.スコット（2000）、基礎ホモロジー代数、Graduate Texts in Mathematics、vol. 196、Springer-Verlag、ISBN 0-387-98934-X、ZBL  0948.18001
• ライナー、I. (2003)、最大順序、ロンドン数学会モノグラフ。新シリーズ、第28巻、オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-852673-3、Zbl  1024.16008
• ワイベル、チャールズ A. (1994)、「ホモロジー代数入門」、ケンブリッジ高等数学研究第 38 巻、ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-43500-5、Zbl  0797.18001