本質的下限と本質的上限

数学において、本質的最小値と本質的最​​大値の概念は、最小値と最大値の概念に関連していますが、測度論と関数解析に適応されています。測度論と関数解析では、集合内のすべての要素に対して有効ではなく、測度ゼロの集合を除くほぼすべての場所で有効であるステートメントを頻繁に扱います。

正確な定義はすぐには分かりにくいですが、直感的に関数の本質的上限とは、測度がゼロの点の集合で関数が行うことを無視した上で、どこでも関数値以上となる最小の値です。たとえば、を除くどこでもゼロに等しい関数を取る場合、関数の上限は 1 に等しくなります。しかし、(ルベーグ測度のもとで) が特異な単一の点で関数が行うことを無視できるため、本質的上限は 0 です。本質的下限も同様に定義されます。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f(0)=1,}$${\displaystyle f}$

測度論の問題ではよくあることですが、本質的な上限と下限の定義は、関数が点（つまり、の像）で何を行うかを問うことから始まるのではなく、が特定の値に等しい点の集合（つまり、におけるの逆像）を問うことから始まります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$

を集合 上で定義された実数値関数とします。関数の上限は、次の特性によって特徴付けられます。すべてに対して が成り立ち、あるもの に対して が成り立つ場合、すべて に対してが成り立ち、より具体的には、すべてに対してが成り立つ場合、つまり集合 が空である場合 、実数はの上限と呼ばれます。 を の上限の集合とし、空集合の下限を で定義します。すると、 上限の集合が空でない場合はの上限は となり、それ以外の場合はとなります 。 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)\leq \sup f\leq \infty }$ ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$${\displaystyle f(x)\leq a}$ ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \sup f\leq a.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)\leq a}$${\displaystyle x\in X;}$$${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )=\{x\in X:f(x)>a\}}$$$${\displaystyle U_{f}=\{a\in \mathbb {R} :f^{-1}(a,\infty )=\varnothing \}\,}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle \inf \varnothing =+\infty .}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \sup f=\inf U_{f}}$$${\displaystyle U_{f}}$${\displaystyle \sup f=+\infty }$

ここで、さらに が測度空間であると仮定し、簡単のため、関数 が可測であると仮定する。 上限と同様に、関数の本質的な上限は、次の性質によって特徴付けられる: -ほぼすべてに対して、そしてある に対して-ほぼすべてに対してが成り立つ場合、より具体的には、数は${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)\leq \operatorname {ess} \sup f\leq \infty }$${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$${\displaystyle f(x)\leq a}$${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f\leq a.}$${\displaystyle a}$の本質的上限は、測定可能な集合が-測度ゼロの集合である^[a]つまり、-のほぼすべての場合、 を本質的上限の集合とします。すると、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle f(x)\leq a}$${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle X.}$$${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}}$$essence supremum は、 ifおよび同様に定義されます 。 $${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=\inf U_{f}^{\mathrm {ess} }}$$${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }\neq \varnothing ,}$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty }$

全く同じように定義すると、の最高値としての必須下限値本質的下限s、つまり 本質的下限の集合が空でない場合は となり、それ以外の場合は となります この場合も、別の表現として 集合が空の場合）があります。 $${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}}$$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{a\in \mathbb {R} :f(x)\geq a{\text{ ほとんどすべての }}x\in X\}} に対して$${\displaystyle -\infty}$

実数直線上でルベーグ測度とそれに対応する𝜎代数 を考える。次の式で 関数を定義する。${\displaystyle \Sigma .}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}5,&{\text{if }}x=1\\-4,&{\text{if }}x=-1\\2,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

この関数の上限値 (最大値) は 5、下限値 (最小値) は -4 です。ただし、関数は、測度が 0 である集合とでのみこれらの値を取ります。それ以外の場所では、関数は値 2 を取ります。したがって、この関数の本質的な上限値と本質的な下限値はどちらも 2 です。 ${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle \{-1\},}$

別の例として、が有理数 を表す関数 を考えてみましょう 。この関数は上からも下からも無限大なので、その上限と下限はそれぞれとです。しかし、ルベーグ測度の観点からは、有理数の集合は測度がゼロです。したがって、本当に重要なのは、この集合の補集合で何が起こるかです。ここで、関数は と与えられます。したがって、本質的な上限はであり、本質的な下限は です。$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan x,&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} \\\end{cases}}}$$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle -\infty ,}$${\displaystyle \arctan x.}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle -\pi /2.}$

一方、すべての実数に対して定義された関数を考える。その本質的な上限はであり、本質的な下限はである。${\displaystyle f(x)=x^{3}}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle +\infty ,}$${\displaystyle -\infty .}$

最後に、関数を考えてみ ましょう。 すると、任意の関数に対して、$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\neq 0\\0,&{\text{if }}x=0.\\\end{cases}}}$$${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mu (\{x\in \mathbb {R} :1/x>a\})\geq {\tfrac {1}{|a|}}}$${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty .}$

ならば 、そうでなければ、測度がゼロならば[ 1 ^]${\displaystyle \mu (X)>0}$$${\displaystyle \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \sup f~\leq ~\sup f.}$$${\displaystyle X}$ $${\displaystyle +\infty ~=~\operatorname {ess} \inf f~\geq ~\operatorname {ess} \sup f~=~-\infty .}$$

2つの関数との基本上限が両方とも非負である場合、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup(fg)~\leq ~(\operatorname {ess} \sup f)\,(\operatorname {ess} \sup g).}$

測度空間 が与えられたとき、ほぼどこでも有界である測定可能な関数のすべてからなる空間は、半ノルム空間であり、その半ノルムは関数 の絶対値の本質的な上限である。^{[注 1]}${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ),}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}$ $${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(x)|\leq C{\text{ for almost every }}x\}={\begin{cases}\operatorname {ess} \sup |f|&{\text{ if }}0<\mu (S),\\0&{\text{ if }}0=\mu (S),\end{cases}}}$$${\displaystyle \mu (S)\neq 0.}$

• 必須アイテム
• ${\displaystyle L^{p}}$空間 – 有限次元 p ノルム空間を一般化する関数空間

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