反転を伴う半群

数学、特に抽象代数学において、反転を持つ半群または*-半群は、反転反自己同型を備えた半群であり、大まかに言えば、この反転は単項演算子として考えられ、群の逆をとる演算の特定の基本的特性を示すため、 群に近づきます。

• ユニークさ
• 二重申請は「キャンセル」されます。
• 逆群の場合と同じ二項演算による相互作用法則。

したがって、どのグループも反転を持つ半グループであることは驚くことではありません。ただし、反転を持つ半グループがグループではないという重要な自然な例があります。

線型代数の例としては、 n次 実正方行列の乗法 モノイド(完全線型モノイドと呼ばれる)がある。行列をその転置行列に写像する写像は反転である。なぜなら、転置行列は任意の行列に対して明確に定義され、法則( AB ) ^T = B ^T A ^Tに従うからである。この法則は、一般線型群(完全線型モノイドのサブグループ)で逆行列を取る場合と同じ形式の乗法との相互作用を持つ。しかし、任意の行列に対して、AA ^{T は}単位元 (つまり対角行列) と等しくない。形式言語理論からの別の例としては、空でない集合(アルファベット)によって生成される自由半群があり、文字列の連結が二項演算として使用され、反転は文字列内の文字の線形順序を逆にする写像である。基本的な集合論からの 3 番目の例は、集合とそれ自身との間のすべての2 項関係の集合であり、反転は逆関係であり、乗算は関係の通常の合成によって与えられます。

反転を伴う半群は、半群の理論と半山の理論を橋渡しする試みの結果として、 1953年のヴィクトル・ワグナーの論文（ロシア語）で明示的に名前が付けられました。^[1]

S を二項演算が乗法的に記述される半群とします。Sの反転は、次の条件を満たすS上の一項演算* (または、変換 * : S → S、 x ↦ x *) です。

1. S内のすべてのxについて、 ( x *)* = xです。
2. S内のすべてのx、yについて、 ( xy )* = y * x *が成り立ちます。

反転 * を持つ 半群S は反転を持つ半群と呼ばれます。

これらの公理の最初のものだけを満たす半群は、U 半群のより大きなクラスに属します。

いくつかの応用では、これらの公理のうち2番目は反分配的と呼ばれています。^[2]この公理の自然哲学に関して、HSMコクセターは「[x]と[y]をそれぞれ靴下と靴を履く操作と考えると明らかになります」と述べています。^[3]

1. S が可換半群である場合、 S の恒等写像は反転です。
2. Sが群であれば、 x * = x ⁻¹ で定義される反転写像* : S → Sは反転である。さらに、アーベル群上では、この写像と前の例の写像は両方とも反転を伴う半群の公理を満たす反転である。^[4]
3. S が逆半群である場合、反転写像は冪等性 を不変にする反転である。前の例で述べたように、反転写像は必ずしも逆半群においてこの性質を持つ唯一の写像ではない。すべての冪等性を不変にする反転は他にもあるかもしれない。例えば、可換正則、つまり逆半群、特にアーベル群上の恒等写像である。正則半群が逆半群であるのは、各冪等性が不変となる反転を許容する場合に限る。^[5]
4. すべてのC*-代数の根底には*-半群があります。重要な例としては、共役転置を反転として持つ、C上のn行n列の行列の代数M _n ( C ) があります。
5. Xが集合である場合、 X上のすべての二項関係の集合は *-半群であり、* は逆関係によって与えられ、乗算は関係 の通常の合成によって与えられます。これは、通常の半群ではない *-半群の例です。
6. X が集合である場合、X の要素のすべての有限シーケンス (または文字列) の集合は、シーケンスの連結の操作の下で自由モノイドを形成し、シーケンスの反転が反転として実行されます。
7. 集合Aとそれ自身、すなわちA × Aの元との直積上の矩形帯。半群積は ( a , b )( c , d ) = ( a , d ) と定義され、反転は ( a , b )* = ( b , a )の元の順序を逆にしたものです。この半群は、すべての帯と同様に正則半群でもあります。^[6]

反転を持つ半群の元x は、反転によって不変のまま残される、つまりx * = xであるとき、エルミート(エルミート行列との類推) と呼ばれることがあります。xx *またはx * xの形式の元は常にエルミートであり、エルミート元のすべてのべき乗もエルミートです。例のセクションで述べたように、半群Sが逆半群であるためには、S が正則半群であり、反転が可能で、すべてのべき等元がエルミートである場合に限ります。^[7]

特定の基本概念は、半群の正則元から生じる概念と類似した方法で、*-半群上で定義されることがある。部分等長変換は、 ss * s = s となる元sである。半群Sの部分等長変換の集合は通常、PI( S ) と略される。^[8]射影は、ee = eかつe * = eとなる、エルミートでもある冪等元eである。すべての射影は部分等長変換であり、すべての部分等長変換sに対して、s * sおよびss * は射影である。eおよびf が射影である場合、e = fe のときかつその場合に限り、e = efである。^[9]

部分等長写像は、s = ss * tかつss * = ss * tt *が成り立つとき、s ≤ tによって部分的に順序付けることができます。 ^[9]同様に、s ≤ tは、ある射影eに対してs = etかつe = ett *が成り立つときのみ成り立ちます 。^[9] *-半群において、PI( S ) は、s * s = tt *のとき、s ⋅ t = stで与えられる部分積を持つ順序付き群です。^[10]

これらの概念の例として、集合上の二項関係の*-半群において、部分等長関係は二項関係である。この*-半群への射影は部分同値関係である。^[11]

C*-代数における部分等長変換は、まさにこの節で定義されるものである。M n ( C )の場合、さらに言えることがある。EとF が射影である場合、E ≤ Fであるのは、 im E ⊆ im Fの場合に限る_。任意の 2 つの射影について、E ∩ F = Vである場合、像Vと核Vの直交補集合を持つ唯一の射影J は、 EとFの交わりである。射影は交わり半格子を形成するため、 M _n ( C )上の部分等長変換は積 を持つ逆半群を形成する。^[12]${\displaystyle A(A^{*}A\wedge BB^{*})B}$

これらの概念の別の簡単な例を次のセクションに示します。

*-半群の規則性には、関連しているが同一ではない概念が2つある。これらはそれぞれNordahl & Scheiblich (1978)とDrazin (1979)によってほぼ同時に導入された。^[13]

前の例で述べたように、逆半群は*-半群のサブクラスです。逆半群は、任意の 2 つの冪等性が交換可能な正則半群として特徴付けられることも教科書で知られています。1963 年に、Boris M. Schein は、次の 2 つの公理が逆半群を *-半群のサブ多様体として類似の特徴付けすることを示しました。

• x = xx * x
• ( xx *)( x * x ) = ( x * x )( xx *)

最初のものは、正則元の定義のように見えますが、実際には反転に関するものです。同様に、2 番目の公理は、2 つの冪等性の交換を説明しているように見えます。ただし、正則半群は、そのクラスに自由オブジェクトが含まれていないため、多様体を形成しないことが知られています (1968 年に DB McAlister によって確立された結果)。この推論の流れが、Nordahl と Scheiblich が 1977 年に、最初の 2 つの公理のみを満たす *-半群 (の多様体) の研究を開始するきっかけとなりました。正則半群を定義する特性と形式が類似しているため、彼らはこの多様体を正則 *-半群と名付けました。

正則 *-半群も正則半群であることは、x * がxの逆であることがわかることから、計算によって簡単に証明できます。例 7 の長方形バンドは、逆半群ではない正則 *-半群です。^[6]正則 *-半群では、任意の 2 つの射影の積がべき等であることも簡単に確認できます。^[14]前述の長方形バンドの例では、射影は形式 ( x , x ) の要素であり、[バンドのすべての要素と同様に] べき等です。ただし、このバンド内の 2 つの異なる射影は交換する必要はなく、また、( a , a )( b , b ) = ( a , b )であるため、それらの積が必ずしも射影であるとは限りません。

x ** = x = xx * xのみを満たす半群（ただし、乗法上の * の反分配性は必ずしも満たさない）も、 I-半群という名前で研究されてきた。

正則半群が正則*-半群（Nordahl & Scheiblichの意味で）であるかどうかを特徴付ける問題は、M. Yamada（1982）によって取り組まれました。彼は、P-システムF(S)をSのべき等元の部分集合として定義し、通常E(S)と表記します。aの逆を表す通常の表記法V( a )を使用すると、F(S)は次の公理を満たす必要があります。

1. Sの任意のaに対して、V( a )に唯一のa°が存在し、 aa °とa ° aはF(S)に含まれる。
2. Sに属する任意のaとF(S)に属する任意のbに対して、 a°baはF(S)に属する。ここで°は前の公理から定義された演算である。
3. F(S )に属する任意のa、bに対して、 abは E(S) に属する。注意: 必ずしも F(S) に属するとは限らない。

正則半群 S は、P システム F(S) を持つ場合のみ、Nordahl & Scheiblich によって定義された *-正則半群です。この場合、F(S) は、F(S) によって定義された演算 ° に関する S の射影の集合です。逆半群では、べき等性の半格子全体が P システムです。また、正則半群 S が乗法的に閉じた P システム (つまり、部分半群) を持つ場合、S は逆半群です。したがって、P システムは、逆半群のべき等性の半格子の一般化と見なすことができます。

反転 * を持つ半群S は、 Sのすべてのxに対して、x * がxの逆とH同値であるとき、（ Drazin の意味で）*-正則半群と呼ばれます。ここで、 Hはグリーン関係Hです。この定義特性は、いくつかの同値な方法で定式化できます。別の方法は、すべてのLクラスに射影が含まれると言うことです。公理的な定義は、Sのすべてのxに対して、 x ′ xx ′ = x ′、xx ′ x = x、( xx ′)* = xx ′、( x ′ x )* = x ′ xとなる元x ′ が存在するという条件です。Michael P. Drazin は、 x が与えられたときに、これらの公理を満たす元 x ′ は一意であることを初めて証明しました。これは、 x のムーア-ペンローズ逆と呼ばれます。

これらの半群を研究する動機の 1 つは、ムーア・ペンローズ逆集合の特性を⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$および⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} }$からより一般的な集合に 一般化できることです。

n次正方行列の乗法半群M _n ( C )において、行列Aをそのエルミート共役A * に割り当てる写像は反転である。半群M _n ( C ) は、この反転を持つ *-正則半群である。この *-正則半群における A のムーア・ペンローズ逆は、 Aの古典的なムーア・ペンローズ逆である。

すべての多様体と同様に、反転を持つ半群のカテゴリは自由対象を許容する。反転を持つ自由半群（またはモノイド）の構成は、自由半群（およびそれぞれ自由モノイド）の構成に基づいている。さらに、自由群の構成は、反転を持つ自由モノイドの構成を改良することで簡単に導くことができる。^[15]

反転を伴う自由半群の生成元は、2 つの (同数)互いに素な集合の単射対応における和集合の元である: 。(ここでの表記は、和集合が実際には互いに素な和集合であることを強調している。) 2 つの集合が有限である場合、それらの和集合Yは、反転を伴うアルファベット^[16]または対称アルファベット^[17]と呼ばれることがある。を単射とする。は、本質的には(集合として) とその逆集合との互いに素な和集合をとることによって、自然に単射に拡張される。または区分表記では次のように表される: ^[18]${\displaystyle Y=X\sqcup X^{\dagger}}$${\displaystyle \sqcup \,}$${\displaystyle \theta :X\rightarrow X^{\dagger }}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle {}\ダガー :Y\to Y}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle y^{\dagger }={\begin{cases}\theta (y)&{\text{if }}y\in X\\\theta ^{-1}(y)&{\text{if }}y\in X^{\dagger }\end{cases}}}$

ここで、 上の二項（半群）演算が連結である通常の方法で上の自由半群を構築します。 ${\displaystyle Y^{+}\,}$${\displaystyle Y\,}$${\displaystyle Y^{+}\,}$

${\displaystyle w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}}$いくつかの文字${\displaystyle w_{i}\in Y.}$

上の一対一表現は、 1文字以上の要素の文字列反転として定義される一対一表現として拡張される: ^{[16] [18]}${\displaystyle \dagger}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {}^{\ダガー }:Y^{+}\rightarrow Y^{+}}$${\displaystyle Y^{+}\,}$

${\displaystyle w^{\dagger }=w_{k}^{\dagger }w_{k-1}^{\dagger }\cdots w_{2}^{\dagger }w_{1}^{\dagger }.}$

この写像は半群 上の反転である。したがって、写像 を持つ半群は反転を持つ半群であり、X上の反転を持つ自由半群と呼ばれる。^[19]（この用語の選択における の具体的な同一性と全単射の無関係性は、以下で構成の普遍的性質の観点から説明される。）例 6 とは異なり、反転を持つアルファベットではすべての文字の反転が個別の要素であり、したがって同じ観察が反転を持つ自由半群に拡張されることに注意する。 ${\displaystyle Y^{+}\,}$${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$${\displaystyle {}^{\dagger }\,}$${\displaystyle X^{\dagger}}$${\displaystyle \theta}$

上記の構成で、 の代わりに自由モノイド（これは、モノイドの単位元である空語で拡張された自由半群です）を使用し、 で反転を適切に拡張すると、反転 を持つ自由モノイドが得られます。^[18]${\displaystyle Y^{+}\,}$ ${\displaystyle Y^{*}=Y^{+}\cup \{\varepsilon \}}$ ${\displaystyle \varepsilon \,}$ ${\displaystyle Y^{*}\,}$${\displaystyle \varepsilon ^{\dagger }=\varepsilon }$

上記の構成は、実際には、与えられた写像を から へ、 上の反転（および 上も同様）へ拡張する唯一の方法である。これらの構成に対する「自由」という修飾語は、それらが普遍構成であるという通常の意味で正当化される。反転を持つ自由半群の場合、反転を持つ任意の半群と写像 が与えられたとき、 となる半群準同型が存在する。ここで は包含写像であり、関数の合成は図式順序で行われる。^[19]を反転を持つ半群として構成することは、同型 を除いて一意である。同様の議論は、モノイド準同型と、反転を持つモノイドとしての の構成の同型を除いて一意であることに関して、反転を持つ自由モノイドに対しても成り立つ。 ${\displaystyle \theta \,}$${\displaystyle X\,}$${\displaystyle X^{\dagger }\,}$${\displaystyle Y^{+}\,}$${\displaystyle Y^{*}\,}$${\displaystyle S\,}$${\displaystyle \Phi :X\rightarrow S}$ ${\displaystyle {\overline {\Phi }}:(X\sqcup X^{\dagger })^{+}\rightarrow S}$${\displaystyle \Phi =\iota \circ {\overline {\Phi }}}$${\displaystyle \iota :X\rightarrow (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{*}}$

自由群の構成は、反転を持つ自由モノイドの構成とそれほどかけ離れていない。必要な追加要素は、簡約語の概念と、またはの形式の隣接する文字のペアを削除するだけでそのような単語を作成するための書き換え規則を定義することです。そのようなペアを書き換える（削除する）順序は重要ではない、つまり、削除の順序に関係なく同じ結果が得られることを示すことができます。^[15]（言い換えると、これらの規則は合流性書き換えシステムを定義します。）同様に、反転を持つ自由モノイドから自由群は、後者を合同で割ることによって構成されます。これは、ダイク合同と呼ばれることもあります。ある意味では、ダイク言語を複数の種類の「括弧」に一般化します。ただし、ダイク合同での簡約は順序に関係なく行われます。例えば、「)」が「(」の逆である場合、 ; Dyck 言語自体に現れる、 にのみ例示される片側合同は、 (おそらく紛らわしいが)シャミア合同と呼ばれる。 シャミア合同による反転を伴う自由モノイドの商は群ではなくモノイドである。しかし、これを最初の発見者であるEli Shamir は自由半群と呼んでいるが、最近ではXによって生成される反転モノイドと呼ばれている。^{[17] [20]} (ただし、この後者の用語の選択は、反転を伴う任意の半群を示すために「反転」を使用することと矛盾しており、この使用法は文献にも見られる。^{[21] [22]} ) ${\displaystyle xx^{\dagger }}$${\displaystyle x^{\dagger }x}$ ${\displaystyle \{(yy^{\dagger },\varepsilon ):y\in Y\}}$${\displaystyle ()=)(=\varepsilon }$${\displaystyle \{(xx^{\dagger },\varepsilon ):x\in X\}}$${\displaystyle ()=\varepsilon }$

ベーア*-半群は、（両側）ゼロを持つ*-半群であり、その中の各要素の右消滅子が、ある射影の右イデアルと一致する。この性質は、次のように正式に表現される。すべてのx∈Sに対して、射影 eが存在し、

{ y ∈ S | xy = 0 } = eS。^[22]

射影eは実際にはxによって一意に決定される。^[22]

最近では、ベーア*-半群は、それを詳細に研究したデイビッド・ジェームズ・ファウリスにちなんでファウリス半群とも呼ばれるようになりました。 ^{[23] [24]}

集合上のすべての二項関係の集合（例5より）はBaer*-半群である。^[25]

ベーア*-半群は量子力学でも登場し、^[22]特にベーア*-環の乗法半群として知られています。

Hがヒルベルト空間ならば、 H上のすべての有界作用素の乗法半群はベール*-半群である。この場合の反転は作用素をその随伴作用素に写像する。^[25]

ベーア*-半群はオルトモジュラー格子の座標化を可能にする。^[23]

• ダガーカテゴリ（別名、反転カテゴリ）—概念を一般化する
• *-代数
• 半群の特別なクラス

• マーク・V・ローソン (1998)。「逆半群: 部分対称性の理論」。ワールド・サイエンティフィック ISBN 981-02-3316-7 
• DJ Foulis (1958)。反転半群、博士論文、チューレーン大学、ルイジアナ州ニューオーリンズ。DJ Foulis の出版物 (2009 年 5 月 5 日にアクセス)
• WD Munn, Special Involutions、AH Clifford、KH Hofmann、MW Mislove 著『半群理論とその応用：アルフレッド・H・クリフォードの業績を記念した1994年会議の議事録』、ケンブリッジ大学出版局、1996年、ISBN 0521576695。これは、（特別な）反転を伴う半群に関する最近の調査記事です。 
• Drazin, MP,反転を伴う正則半群、Proc. Symp. on Regular Semigroups (DeKalb, 1979), 29–46 ページ
• Nordahl、TE、および HE Scheiblich、「レギュラー * セミグループ」、セミグループ フォーラム、16(1978)、369–377。
• 山田美幸「正則半群のP-システム」、半群フォーラム、24(1)、1982年12月、pp. 173–187
• S. Crvenkovic と Igor Dolinka、「反転半群と反転半環の多様体: 概観」、バニャ・ルカ数学者協会紀要第 9 巻 (2002 年)、7–47 ページ。
• この記事には、 PlanetMathの Free semigroup with involution の資料が組み込まれており、これはCreative Commons Attribution/Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされています。