オペレータトポロジ

関数解析という数学の分野では、バナッハ空間X上の有界線型作用素の代数B( X )に与えられる標準的な位相がいくつかあります。

バナッハ空間X上の線型作用素の列をとします。X上のある作用素Tに収束する命題を考えます。これはいくつかの異なる意味を持ちます。 ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$

• つまり、（ の上限、ただしx はX内の単位球全体にわたる）の演算子ノルムが0 に収束する場合、一様演算子位相においてであると言えます。${\displaystyle \|T_{n}-T\|\to 0}$${\displaystyle T_{n}-T}$${\displaystyle \|T_{n}x-Tx\|_{X}}$${\displaystyle T_{n}\to T}$
• すべて に対して であれば、強い演算子位相において であると言えます。${\displaystyle T_{n}x\to Tx}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle T_{n}\to T}$
• 最後に、すべてのx ∈ Xに対して、 Xの弱位相においてが成り立つとします。これは、X上のすべての連続線形関数Fに対して が成り立つことを意味します。この場合、弱演算子位相においてが成り立つと言えます。${\displaystyle T_{n}x\to Tx}$${\displaystyle F(T_{n}x)\to F(Tx)}$${\displaystyle T_{n}\to T}$

B( X )上に定義できる位相は、上で使用した位相以外にも多数あります。ほとんどの場合、適切な一般化が可能ですが、大部分は最初はX = H がヒルベルト空間である場合にのみ定義されます。以下に挙げる位相はすべて局所的に凸であり、半ノルムの族によって定義されることを意味します。

解析学では、開集合が多い場合は位相が強いとされ、開集合が少ない場合は弱いとされ、対応する収束モードはそれぞれ強いと弱いです。(位相学では、これらの用語は反対の意味を示唆することがあるため、強いと弱いはそれぞれ細かいと粗いに置き換えられます。) 右の図は関係をまとめたもので、矢印は強いものから弱いものを指しています。

H がヒルベルト空間である場合、ヒルベルト空間作用素B ( X )の線型空間には、トレース類作用素からなる(唯一の)前双対が存在します。この前双対において w が正である場合の半ノルムp _w ( x )は、 B ( w , x ^* x ) ^1/2と定義されます 。 ${\displaystyle B(H)_{*}}$

B がベクトル空間A上の線型写像のベクトル空間である場合、σ( A , B )は、 Bのすべての要素が連続するようなA上の最も弱い位相として定義されます。

• ノルム位相、ユニフォーム位相、ユニフォーム演算子位相は、 B( H )上の通常のノルム || x ||によって定義されます。これは、以下の他のすべての位相よりも強力です。
• 弱い（バナッハ空間）位相はσ (B( H ), B( H ) ^* )、つまり、双対B( H ) ^*のすべての要素が連続する最も弱い位相です。これはバナッハ空間B( H )上の弱い位相です。これは、超弱位相や弱演算子位相よりも強い位相です。（警告：弱いバナッハ空間位相、弱演算子位相、超弱位相はすべて、弱位相と呼ばれることもありますが、異なります。）
• マッキー位相またはアレンズ-マッキー位相は、双対がB( H ) _*となるB( H )上の最も強い局所凸位相であり、また、 B( H ) * の Bσ(B( H ) * 、 B( H ) -コンパクト凸部分集合) 上の一様収束位相でもある_。これは以下_のすべての位相よりも強い。
• σ-強^*位相または超強^*位相は_、超強位相よりも強く、随伴写像が連続する最も弱い位相です。これは、B(H)*の正の元wに対する半ノルムpw(x)とpw ( _x * )の族によって定義_されます。これ^は、以下のすべての位相よりも強いです。
• σ強位相、超強位相、最強位相、最強演算子位相は、 B( H ) _*の正の元wの半ノルムp _w ( x )の族によって定義されます。これは、強^*位相以外の以下のすべての位相よりも強力です。警告: 「最強位相」という名前にもかかわらず、ノルム位相よりも弱いです。
• σ弱位相、超弱位相、弱^*演算子位相、弱 * 位相、弱位相、σ(B( H ), B( H ) _* ) 位相は、 B( H ) _*の元wの半ノルム族 |( w , x )|によって定義されます。これは弱演算子位相よりも強力です。(警告: 弱バナッハ空間位相、弱演算子位相、超弱位相はすべて弱位相と呼ばれることもありますが、これらは異なります。)
• 強*演算子トポロジーまたは強^*トポロジーは、 h ∈ Hのセミノルム || x ( h )|| と || x ^* ( h )||によって定義されます。これは、強演算子トポロジーや弱演算子トポロジーよりも強力です。
• 強演算子トポロジー( SOT) または強トポロジーは、 h ∈ Hのセミノルム || x ( h )||によって定義されます。これは弱演算子トポロジーよりも強力です。
• 弱演算子位相( WOT) または弱位相は、h ₁、h ₂ ∈ Hのセミノルム |( x ( h ₁ )、h ₂ )|によって定義されます。 (警告: 弱バナッハ空間位相、弱演算子位相、および超弱位相はすべて弱位相と呼ばれることもありますが、異なります。)

弱い、強い、強い^{* (演算子) 位相に対する}B( H )上の連続線型関数は同じであり、h ₁、h ₂ ∈ Hに対する線型関数 (x h ₁、h ₂ )の有限線型結合です。超弱、超強、超強^{* 、および Arens-Mackey 位相に対する}B( H )上の連続線型関数は同じであり、前双対B( H ) _*の要素です。

定義により、ノルム位相における連続線形関数は、弱バナッハ空間位相におけるものと同じです。この双対は、多くの異常な要素を持つかなり大きな空間です。

B( H )のノルム有界集合上では、弱い（演算子）位相と超弱い位相が一致する。これは、たとえば、バナッハ-アラオグル定理で見ることができる。本質的に同じ理由で、超強位相は、 B( H )の任意の（ノルム）有界部分集合上の強位相と同じである。Arens-Mackey位相、超強^*、および強^*位相についても同様である。

局所凸空間では、凸集合の閉包は連続線型関数によって特徴付けられる。したがって、B( H )の凸部分集合Kについて、 K が超強^*位相、超強位相、超弱位相で閉じているという条件はすべて同値であり、すべてのr > 0に対して、K が強^{* 位相}、強位相、または弱 (演算子) 位相で半径rの閉球と閉じた交差を持つという条件とも同値である。

ノルム位相は距離化可能だが、他の位相は距離化可能ではない。実際、それらは第一可算ではない。しかし、Hが可分な場合、単位球（または任意のノルム有界部分集合）に制限すると、上記の位相はすべて距離化可能である。

最も一般的に使用される位相は、ノルム、強、弱演算子位相です。弱演算子位相は、単位球がバナッハ-アラオグル定理によりコンパクトであるため、コンパクト性の議論に役立ちます。ノルム位相は、 B( H ) をバナッハ空間にするため基本的ですが、多くの目的には強すぎます。たとえば、この位相ではB( H ) は分離できません。強演算子位相が最も一般的に使用される可能性があります。

超弱位相と超強位相は、弱演算子位相と強演算子位相よりも動作が優れていますが、定義がより複雑なため、より優れた特性が本当に必要な場合を除いて、通常は使用されません。たとえば、弱演算子位相または強演算子位相におけるB( H )の双対空間は小さすぎて、解析的な内容をあまり持ちません。

強い演算子と超強い位相では随伴写像は連続ではありませんが、強い* 位相と超強い* 位相は随伴写像が連続になるように修正されたものです。これらはあまり使用されません。

アレンス・マッキー位相と弱いバナッハ空間位相は比較的まれにしか使用されません。

要約すると、B( H )上の 3 つの基本的な位相は、ノルム位相、超強位相、超弱位相です。弱演算子位相と強演算子位相は、超弱位相と超強位相の便利な近似として広く使用されています。その他の位相は比較的わかりにくいものです。

• 有界演算子 – 位相ベクトル空間間の線形変換
• 連続線形演算子
• ヒルベルト空間 – 位相ベクトル空間の一種
• 位相のリスト – 具体的な位相と位相空間のリスト
• 収束のモード – シーケンスまたはシリーズの性質
• ノルム（数学）  – ベクトル空間における長さ
• 線型写像の空間上の位相
• 曖昧なトポロジー
• 弱収束（ヒルベルト空間）  – ヒルベルト空間における収束の種類

• 機能分析、リードとサイモン著、ISBN  0-12-585050-6
• 作用素環論 I、竹崎正治著（特に第 II.2 章）ISBN 3-540-42248-X