数学的な関数解析 において、 部分 等長写像は ヒルベルト空間 間の 線型写像 であり、その 核 の 直交補 写像 上の等長写像 となる 。
その核の直交補空間は 初期部分空間 と呼ばれ、その値域は 最終部分空間 と呼ばれます。
部分等長変換は極分解 で現れます 。
一般的な定義 部分等長写像の概念は、他の同等の方法で定義できます。U がヒルベルト空間 H の閉部分集合 H 1 上で定義された等長写像である場合 、 H 1 の 直交 補 集合 上で W が 0 である という条件によって、 U の H 全体への拡張 W を 定義できます 。したがって、部分等長写像は、部分的に定義された閉じた等長写像として定義されることもあります。
部分等長変換（および射影）は、反転を持つ半群 のより抽象的な設定で定義できます 。その定義はここでの定義と一致します。
有限次元における特性評価 有限次元ベクトル空間では、行列が 部分等長変換となるのは、 が そのサポートへの射影である場合に限ります。これを、 等長変換 のより厳しい定義と比較してみましょう。行列が 等長変換となるのは、 の場合に限ります 。言い換えると、等長変換は単射な部分等長変換です。
あ
{\displaystyle A}
あ
∗
あ
{\displaystyle A^{*}A}
五
{\displaystyle V}
五
∗
五 = 私
{\displaystyle V^{*}V=I}
任意の有限次元部分等長変換は、基底の選択によっては、形式の行列 、つまり、最初の 列が等長変換を形成し、他のすべての列が 0 である行列として表すことができます。
あ =
（
五
0
）
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}V&0\end{pmatrix}}}
ランク （ あ ）
{\displaystyle \operatorname {rank} (A)}
任意の等長写像 に対して 、エルミート共役は 部分等長写像 であることに注意してください。ただし、与えられた例で明示的に示されているように、すべての部分等長写像がこの形式になるわけではありません。
五
{\displaystyle V}
五
∗
{\displaystyle V^{*}}
作用素代数 作用素代数 の場合、 初期部分空間と最終部分空間が導入されます。
私
わ :=
R
わ
∗
わ 、
ふ
わ :=
R
わ
わ
∗
{\displaystyle {\mathcal {I}}W:={\mathcal {R}}W^{*}W,\,{\mathcal {F}}W:={\mathcal {R}}WW^{* }}
C*-代数 C*-代数 の場合、 C*-性質により同値の連鎖が存在します。
（
わ
∗
わ
）
2
=
わ
∗
わ ⟺ わ
わ
∗
わ = わ ⟺
わ
∗
わ
わ
∗
=
わ
∗
⟺ （ わ
わ
∗
）
2
= わ
わ
∗
{\displaystyle (W^{*}W)^{2}=W^{*}W\iff WW^{*}W=W\iff W^{*}WW^{*}=W^{*} \iff (WW^{*})^{2}=WW^{*}}
したがって、上記のいずれかによって部分等長変換を定義し、初期投影をそれぞれ W*W 、最終投影をそれぞれ WW* と宣言します。
一対の射影は 同値関係 によって分割される:
ポ =
わ
∗
わ 、 質問 = わ
わ
∗
{\displaystyle P=W^{*}W,\,Q=WW^{*}}
これは、C*-代数の K 理論と、 フォン・ノイマン代数 における射影の マレー - フォン・ノイマン 理論において重要な役割を果たします 。
特別クラス
予測 任意の直交射影は、共通の初期部分空間と最終部分空間を持つ射影です。
ポ :
H
→
H
:
私
ポ =
ふ
ポ
{\displaystyle P:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}:\quad {\mathcal {I}}P={\mathcal {F}}P}
埋め込み 任意の等長埋め込みは完全な初期部分空間を持つ埋め込みです。
J :
H
↪
け
:
私
J =
H
{\displaystyle J:{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}J={\mathcal {H}}}
ユニタリー 任意の ユニタリ演算子は 、完全な初期部分空間と最終部分空間を持つ演算子です。
あなた :
H
↔
け
:
私
あなた =
H
、
ふ
あなた =
け
{\displaystyle U:{\mathcal {H}}\leftrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}U={\mathcal {H}},\,{\mathcal {F}}U={\mathcal {K}}}
(これら以外にも、部分的な等長変換は数多く存在します。)
例
ニルポテント 2次元複素ヒルベルト空間上の行列
（
0
1
0
0
）
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}
は初期部分空間を持つ部分等長写像である
{ 0 } ⊕
Ｃ
{\displaystyle \{0\}\oplus \mathbb {C} }
そして最終部分空間
Ｃ
⊕ { 0 } 。
{\displaystyle \mathbb {C} \oplus \{0\}.}
一般的な有限次元の例 有限次元における他の可能な例は 、列が正規直交でないため、明らかに等長写像ではありません。しかし、そのサポートは およびのスパンであり 、この空間への の作用を制限すると 、等長写像（特にユニタリ）になります。同様に 、 、つまり が そのサポートへの射影であることを確認できます。
あ ≡
（
1
0
0
0
1
2
1
2
0
0
0
）
。
{\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&0&0\end{pmatrix}}.}
e
1
≡ （ 1 、 0 、 0 ）
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)}
1
2
（
e
2
+
e
3
） ≡ （ 0 、 1
/
2
、 1
/
2
）
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\equiv (0,1/{\sqrt {2) }},1/{\sqrt {2}})}
あ
{\displaystyle A}
あ
∗
あ =
Π
補給 （ あ ）
{\displaystyle A^{*}A=\Pi _{\operatorname {supp} (A)}}
あ
∗
あ
{\displaystyle A^{*}A}
部分等長変換は、必ずしも正方行列に対応するわけではありません。たとえば、次の行列を考えてみましょう。この行列は、 および のスパンに対応しており 、この空間上で等長変換 (特に単位行列として) として機能します。
あ ≡
（
1
0
0
0
1 2
1 2
0
0
0
0
1 2
1 2
）
。
{\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.}
e
1
≡ （ 1 、 0 、 0 ）
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)}
e
2
+
e
3
≡ （ 0 、 1 、 1 ）
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\equiv (0,1,1)}
さらに別の例として、今回は サポート 上の非自明な等長変換のように動作します。 、 および であることは簡単に確認できます。これは、 サポート とその範囲 の間で の の等長変換動作を示しています 。
あ
{\displaystyle A}
あ =
（
0
1
2
1
2
1
0
0
0
0
0
）
。
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.}
あ
e
1
=
e
2
{\displaystyle A\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}}
あ
（
e
2
+
e
3
2
）
=
e
1
{\displaystyle A\left({\frac {\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}}{\sqrt {2}}}\right)=\mathbf {e} _{1}}
A
{\displaystyle A}
span
(
{
e
1
,
e
2
+
e
3
}
)
{\displaystyle \operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\})}
span
(
{
e
1
,
e
2
}
)
{\displaystyle \operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\})}
左シフトと右シフト 平方和可能列上の演算子
R
:
ℓ
2
(
N
)
→
ℓ
2
(
N
)
:
(
x
1
,
x
2
,
…
)
↦
(
0
,
x
1
,
x
2
,
…
)
{\displaystyle R:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\ldots )}
L
:
ℓ
2
(
N
)
→
ℓ
2
(
N
)
:
(
x
1
,
x
2
,
…
)
↦
(
x
2
,
x
3
,
…
)
{\displaystyle L:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (x_{2},x_{3},\ldots )}
これらは
R
∗
=
L
{\displaystyle R^{*}=L}
初期部分空間を持つ部分等長写像である
L
R
(
x
1
,
x
2
,
…
)
=
(
x
1
,
x
2
,
…
)
{\displaystyle LR(x_{1},x_{2},\ldots )=(x_{1},x_{2},\ldots )}
そして最終的な部分空間:
R
L
(
x
1
,
x
2
,
…
)
=
(
0
,
x
2
,
…
)
{\displaystyle RL(x_{1},x_{2},\ldots )=(0,x_{2},\ldots )}
。
参考文献 ジョン・B・コンウェイ (1999)。「演算子理論講座」、AMS 書店、 ISBN 0-8218-2065-6 Carey , RW; Pincus, JD (1974 年 5 月)。「特定の演算子代数の不変量」。 米国 科学アカデミー紀要 。71 (5): 1952–1956。Bibcode : 1974PNAS ...71.1952C。doi : 10.1073 / pnas.71.5.1952。PMC 388361。PMID 16592156 。 アラン・LT・パターソン（1999年）「群体、逆半群、およびそれらの作用素代数」、Springer、 ISBN 0-8176-4051-7 マーク・V・ローソン (1998)。「逆半群: 部分対称性の理論」。 ワールド・サイエンティフィック ISBN 981-02-3316-7 Stephan Ramon Garcia、Matthew Okubo Patterson、Ross, William T. (2019)。「部分的に等長な行列: 簡潔で選択的な調査」。arXiv : 1903.11648 [math.FA]。
外部リンク 
