超強力トポロジー

関数解析学において、ヒルベルト空間上の有界作用素の集合B(H)上の超強位相、σ 強位相、あるいは最強位相とは、トレース類作用素からなる前双対の 正の元の半ノルム族によって定義される位相である 。 ^{[1] : 68}$${\displaystyle p_{\omega }(x)=\omega (x^{*}x)^{1/2}}$$${\displaystyle \omega}$ ${\displaystyle L_{*}(H)}$

1936年に ジョン・フォン・ノイマンによって導入されました。 ^[2]

超強位相は強 (演算子) 位相に似ています。たとえば、任意のノルム境界セットでは、強演算子位相と超強位相は同じです。超強位相は強演算子位相よりも強力です。

強演算子トポロジーの問題の 1 つは、B(H)と強演算子トポロジーの双対が「小さすぎる」ことです。超強トポロジーはこの問題を解決します。双対は、すべてのトレース クラス演算子の完全な前双対B _* (H)です。一般に、超強トポロジーは強演算子トポロジーよりも優れていますが、定義がより複雑なため、通常は、強演算子トポロジーで済む場合は強演算子トポロジーを使用します。

超強位相は、強作用素位相から次のように得られる。H ₁が可分な無限次元ヒルベルト空間である場合、B(H) はH ₁上の恒等写像でテンソル化することによりB ( H ⊗ H ₁ )に埋め込むことができる。すると、 B ( H ⊗ H ₁ )上の強作用素位相の制限は 、 B(H)の超強位相となる。同様に、これは半ノルム族によって与えられる。 ここで^{[1] : 68}$${\displaystyle x\mapsto \left(\sum _{n=1}^{\infty }\|x\xi _{n}\|^{2}\right)^{1/2},}$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|\xi _{n}\|^{2}<\infty .}$

超強位相では、随伴写像は連続ではない。超強位相と呼ばれる別の位相があり、これは随伴写像が連続するような超強位相よりも強い最も弱い位相である。^{[1] : 68}

• 強作用素位相 – 関数空間上の局所凸位相
• 位相テンソル積 – 位相ベクトル空間のテンソル積構成
• ヒルベルト空間上の作用素の集合上の位相
• 超弱トポロジー

• ナリシ、ローレンス、ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.