微分（数学）

仮定する${\displaystyle f(x)}$は実数値関数である${\displaystyle \mathbb {R} }$変数を再解釈することができます${\displaystyle x}$で${\displaystyle f(x)}$数値ではなく関数として、すなわち実数直線上の恒等写像として、実数を${\displaystyle p}$自分自身に対して：${\displaystyle x(p)=p}$。 それから${\displaystyle f(x)}$は、${\displaystyle f}$と${\displaystyle x}$その価値は${\displaystyle p}$は${\displaystyle f(x(p))=f(p)}$差分${\displaystyle \operatorname {d} f}$（もちろんそれは${\displaystyle f}$) は、その値が${\displaystyle p}$（通常は表記される）$\displaystyle df_{p}}$) は数値ではなく、線形マップです。${\displaystyle \mathbb {R} }$に${\displaystyle \mathbb {R} }$線形マップから${\displaystyle \mathbb {R} }$に${\displaystyle \mathbb {R} }$は${\displaystyle 1\times 1}$行列は、本質的には数値と同じですが、視点を変えることで、$\displaystyle df_{p}}$それを無限小として、標準無限小と比較する$dx_p$これはまた、からの同一性マップです${\displaystyle \mathbb {R} }$に${\displaystyle \mathbb {R} }$(a${\displaystyle 1\times 1}$エントリを持つ行列${\displaystyle 1}$) 恒等写像には、次の性質があります。${\displaystyle \varepsilon }$とても小さいので、$\displaystyle dx_{p}(\varepsilon )}$は非常に小さいため、無限小とみなすことができます。$\displaystyle df_{p}}$は、単に の倍数であるため、同じ性質を持っています。$dx_p$そしてこの倍数は導関数である${\displaystyle f'(p)}$定義により。したがって、次のことが得られます。${\displaystyle df_{p}=f'(p)\,dx_{p}}$、したがって${\displaystyle df=f'\,dx}$こうして、次の考えが回復される。${\displaystyle f'}$は微分比です${\displaystyle df}$そして${\displaystyle dx}$。

もし以下の事実がなければ、これは単なるトリックに過ぎないだろう。

1. これは、${\displaystyle f}$で${\displaystyle p}$最良の線形近似として${\displaystyle f}$で${\displaystyle p}$;
2. そこには多くの一般化がある。

もし${\displaystyle f}$は関数です$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$に${\displaystyle \mathbb {R} }$すると、${\displaystyle f}$微分可能^{[ 8 ]}​$\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$線形マップが存在する場合$\displaystyle df_{p}}$から$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$に${\displaystyle \mathbb {R} }$任意の${\displaystyle \varepsilon >0}$近隣地域があります${\displaystyle N}$の${\displaystyle p}$そのため、${\displaystyle x\in N}$、 $$\displaystyle \left|f(x)-f(p)-df_{p}(xp)\right|<\varepsilon \left|xp\right|.}$$

ここで、一次元の場合と同じトリックを使って、次の式を考えてみましょう。${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$複合体として${\displaystyle f}$標準座標を用いて${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$の上$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（となることによって${\displaystyle x_{j}(p)}$は${\displaystyle j}$の 番目の成分$\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$) 次に微分${\displaystyle \left(dx_{1}\right)_{p},\left(dx_{2}\right)_{p},\ldots ,\left(dx_{n}\right)_{p}}$ある時点で${\displaystyle p}$線形マップのベクトル空間の基底を形成する$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$に${\displaystyle \mathbb {R} }$したがって、もし${\displaystyle f}$微分可能${\displaystyle p}$d f _{p は}、これらの基底要素の 線形結合として表すことができます。$${\displaystyle df_{p}=\sum _{j=1}^{n}D_{j}f(p)\,(dx_{j})_{p}.}$$

係数${\displaystyle D_{j}f(p)}$は（定義により）${\displaystyle f}$で${\displaystyle p}$に関して${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$したがって、${\displaystyle f}$すべての点で微分可能である${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$より簡潔に書くと次​​のようになります。 $${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.}$$

一次元の場合、これは $${\displaystyle df={\frac {df}{dx}}dx}$$ 以前と同様。

このアイデアは、以下の関数に直接一般化できます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$に${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$さらに、この定義は座標変換に対して不変であるという点で、他の導関数の定義よりも決定的な利点を持っています。つまり、同じ考え方を用いて、滑らかな多様体間の滑らかな写像の微分を定義することができるのです。

補足: すべての偏導関数の存在に注意してください${\displaystyle f(x)}$で${\displaystyle x}$は、​${\displaystyle x}$しかし、これは十分条件ではありません。反例については、ガトー微分を参照してください。

同じ手順は、連続性について合理的に議論できる十分な追加構造を持つベクトル空間にも適用できます。最も具体的な例は、ヒルベルト空間（完全内積空間とも呼ばれる）で、内積とその関連ノルムが適切な距離の概念を定義します。同じ手順は、バナッハ空間（完全ノルムベクトル空間とも呼ばれる）にも適用できます。ただし、より一般的な位相ベクトル空間では、距離の概念がないため、詳細の一部はより抽象的になります。

有限次元の重要なケースでは、任意の内積空間はヒルベルト空間であり、任意のノルムベクトル空間はバナッハ空間であり、任意の位相ベクトル空間は完備である。結果として、任意の基底から座標系を定義し、同じ手法を用いることができる。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$。

微分は代数幾何学においても重要であり、いくつかの重要な概念が存在する。

• アーベル微分とは通常、代数曲線またはリーマン面上の微分1形式を意味します。
• 二次微分（アーベル微分の「二乗」のように振る舞う）は、リーマン面の理論においても重要である。
• ケーラー微分は、代数幾何学における微分の概念を一般的に提供する。