余接空間

微分幾何学において、余接空間は滑らかな（または微分可能な）多様体上の点に関連付けられたベクトル空間です。滑らかな多様体上のすべての点に対して余接空間を定義できます。通常、余接空間は、、における接空間の双対空間として定義されますが、より直接的な定義もあります（以下を参照）。余接空間の要素は、余接ベクトルまたは接共ベクトルと呼ばれます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$

連結された多様体上の点におけるすべての余接空間は同じ次元を持ち、これは多様体の次元に等しい。多様体のすべての余接空間は「接着」 (つまり、結合して位相を与える) して、次元が 2 倍の新しい微分可能多様体、つまり多様体の余接バンドルを形成することができる。

ある点における接空間と余接空間は、どちらも同じ次元の実ベクトル空間であり、したがって多くの可能な同型を介して互いに同型です。リーマン計量またはシンプレクティック形式の導入により、ある点における接空間と余接空間の間に自然な同型が生じ、任意の接コベクトルに標準接ベクトルが関連付けられます。

を滑らかな多様体とし、を内の点とします。を における接空間とします。すると、 xにおける余接空間はの双対空間として定義されます。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$

${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=(T_{x}{\mathcal {M}})^{*}}$

具体的には、余接空間の要素は上の線型関数である。つまり、すべての要素は線型写像である。${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$${\displaystyle \alpha \in T_{x}^{*}{\mathcal {M}}}$

${\displaystyle \alpha :T_{x}{\mathcal {M}}\to F}$

ここで、 は、考慮されているベクトル空間の基礎となる体、たとえば実数体です。 の要素は余接ベクトルと呼ばれます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$

場合によっては、接空間を参照せずに余接空間を直接定義したいことがあります。そのような定義は、上の滑らかな関数の同値類によって定式化できます。非公式には、 の近くで 2 つの滑らかな関数fとgが同じ 1 次挙動を示す場合、それらの線形テイラー多項式に類似して、ある点で同値であるといえます。2 つの関数fとg がの近くで同じ 1 次挙動を示すのは、関数f − gの導関数がでゼロになる場合のみです。その場合、余接空間は の近くでの関数のすべての可能な 1 次挙動から構成されます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

を滑らかな多様体とし、 x を内の点とします。を で消滅する内のすべての関数のイデアルとし、を の形式(ただし )の関数の集合とします。すると、 と は両方とも実ベクトル空間となり、 2 つの空間が互いに 同型であることを示すことにより、余接空間を商空間として定義できます。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle I_{x}}$${\displaystyle C^{\infty }\!({\mathcal {M}})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I_{x}^{2}}$${\textstyle \sum _{i}f_{i}g_{i}}$${\displaystyle f_{i},g_{i}\in I_{x}}$${\displaystyle I_{x}}$${\displaystyle I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=I_{x}/I_{x}^{2}}$

この定式化は、代数幾何学におけるザリスキ接空間を定義するための余接空間の構築に類似しています。この構築は、局所環空間にも一般化されます。

を滑らかな多様体とし、を滑らかな関数とする。点におけるの微分は写像である。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}(X_{x})=X_{x}(f)}$

ここで はにおける接線ベクトルであり、微分として考えられます。つまり はの方向におけるリー微分であり、 となります。同様に、接線ベクトルを曲線の接線として考え、次のように書くことができます。 ${\displaystyle X_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X(f)={\mathcal {L}}_{X}f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {d} f(X)=X(f)}$

${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}(\gamma '(0))=(f\circ \gamma )'(0)}$

どちらの場合でも、は 上の線型写像なので、 における接線共ベクトルとなります。 ${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}}$${\displaystyle T_{x}M}$${\displaystyle x}$

そして、ある点における微分写像をを に送る写像として定義することができます。微分写像の特性には次のものがあります。 ${\displaystyle \mathrm {d} :C^{\infty }(M)\to T_{x}^{*}(M)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}}$

1. ${\displaystyle \mathrm {d} }$は線形写像である。定数およびに対して、${\displaystyle \mathrm {d} (af+bg)=a\mathrm {d} f+b\mathrm {d} g}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$
2. ${\displaystyle \mathrm {d} (fg)_{x}=f(x)\mathrm {d} g_{x}+g(x)\mathrm {d} f_{x}}$

微分写像は、上で与えられた余接空間の 2 つの代替定義間のリンクを提供します。 となるすべての に対して が存在するため、すなわちのすべての関数は微分ゼロを持つため、すべての 2 つの関数 に対して が成り立ちます。これで、線型写像を対応する剰余類 に送ることで、 との間に同型を構築できます。 与えられた核と傾きに対して一意の線型写像が存在するため、これは同型であり、2 つの定義の同値性を確立します。 ${\displaystyle f\in I_{x}^{2}}$${\displaystyle g_{i},h_{i}\in I_{x}}$${\textstyle f=\sum _{i}g_{i}h_{i}}$${\textstyle \mathrm {d} f_{x}}$${\textstyle =\sum _{i}\mathrm {d} (g_{i}h_{i})_{x}=}$${\textstyle \sum _{i}(g_{i}(x)\mathrm {d} (h_{i})_{x}+\mathrm {d} (g_{i})_{x}h_{i}(x))=}$${\textstyle \sum _{i}(0\mathrm {d} (h_{i})_{x}+\mathrm {d} (g_{i})_{x}0)=0}$${\displaystyle I_{x}^{2}}$${\displaystyle f\in I_{x}^{2}}$${\displaystyle g\in I_{x}}$${\displaystyle \mathrm {d} (f+g)=\mathrm {d} (g)}$${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$${\displaystyle I_{x}/I_{x}^{2}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha +I_{x}^{2}}$

多様体間のあらゆる微分可能写像が接空間間の 線型写像（プッシュフォワードまたは微分と呼ばれる）を誘導するのと同様に、${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle f_{*}^{}\colon T_{x}M\to T_{f(x)}N}$

このような写像はすべて、余接空間間の線型写像（プルバックと呼ばれる）を誘導しますが、今回は逆方向になります。

${\displaystyle f^{*}\colon T_{f(x)}^{*}N\to T_{x}^{*}M.}$

プルバックは当然、プッシュフォワードのデュアル（または転置）として定義されます。定義を解明すると、次のようになります。

${\displaystyle (f^{*}\theta )(X_{x})=\theta (f_{*}^{}X_{x}),}$

どこに、そして。すべてのものがどこに住んでいるかを注意深く記録します。 ${\displaystyle \theta \in T_{f(x)}^{*}N}$${\displaystyle X_{x}\in T_{x}M}$

点において消える滑らかな写像の同値類に関して接線共ベクトルを定義すると、引き戻しの定義はさらに簡単になります。を で消える滑らかな関数とします。すると、 によって決定される共ベクトルの引き戻し( と表記) は次のように与えられます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathrm {d} g}$

${\displaystyle f^{*}\mathrm {d} g=\mathrm {d} (g\circ f).}$

つまり、によって決定される、 で消滅する関数の同値類です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g\circ f}$

と表記される余接空間の-次外冪は、微分幾何学および代数幾何学におけるもう 1 つの重要な対象です。 - 次外冪のベクトル、またはより正確には余接バンドルの - 次外冪の切断は、微分 -形式と呼ばれます。これらは、接ベクトル上の交代多重線型写像と考えることができます。このため、接余ベクトルは、1 形式と呼ばれることがよくあります。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \Lambda ^{k}(T_{x}^{*}{\mathcal {M}})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

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